历届国际数学竞赛试题

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1、历届国际数学竞赛试题历届国际数学竞赛试题第第 1 届届 IMO1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n 都是最简分数。 2. 设(x+(2x-1)+(x-(2x-1)=A，试在以下 3 种情况下分别求出 x 的实数解： (a) A=2；(b)A=1；(c)A=2。 3. a、b、c 都是实数，已知 cos x 的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0,试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，

2、斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5. 在线段 AB 上任意选取一点 M，在 AB 的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形 AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N， (a.) 求证 AF、BC 相交于 N 点；（b.) 求证 不论点 M 如何选取 直线 MN 都通过一定点 S；(c.) 当 M 在 A 与 B 之间变动时，求线断 PQ 的中点的轨迹。6. 两个平面 P、Q 交于一线 p，A 为 p 上给定一点，C 为 Q 上给定一点，并且这两点 都不在直线 p 上。试作一等腰梯形 ABCD（AB 平行于 CD） ，使得它有一个内切圆，并

3、 且顶点 B、D 分别落在平面 P 和 Q 上。 第第 2 届届 IMO1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N 能被 11 整除且 N/11 等于 N 的各位数字的 平方和。 2. 寻找使下式成立的实数 x： 4x2/(1 - (1 + 2x)2 = 43 A. 并求出等号何时成立。 3. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中 n 是一个自然数。 4. P 是三角形 ABC 内部一点，PA 交 BC 于 D，PB 交 AC 于 E，PC 交 AB 于 F，求证 AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于 2，也至少有一个不小于 2。 5. 作三角形 ABC 使

4、得 AC=b, AB=c，锐角 AMB = ,其中 M 是线断 BC 的中点。求证 这个三角形存在的充要条件是 b tan(/2) 1/2.3. 正方体 ABCDABCD（ABCD、ABCD分别是上下底） 。一点 x 沿着正方形 ABCD 的边界以方向 ABCDA 作匀速运动；一点 Y 以同样的速度沿着正方形 BCCB 的 边界以方向 BCCBB运动。点 X、Y 在同一时刻分别从点 A、B开始运动。求线断 XY 的中点的轨迹。 4. 解方程 cos2x + cos22x + cos23x = 1。 5. 在圆 K 上有三个不同的点 A、B、C。试在 K 上再作出一点 D 使得这四点所形成的 四

5、边形有一个内切圆。 6. 一个等腰三角形，设 R 为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的 距离是(R(R-2r)。 7. 求证：正四面体有 5 个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切； 反过来，如果一个四面体有 5 个这样的球，则它必然是正四面体。第第 5 届届 IMO1. 找出下列方程的所有实数根（其中 p 是实参数）： (x2-p)+2(x2-1) = x. 2. 给定一点 A 及线断 BC，设空间中一点 P 使得存在线段 BC 上有一点 X 满足 角 APX 是直角，试求出所有这样的点 P 的轨迹。 3. 在一个 n 边形中，所有内角都相等，边长依次是 a1 = a

6、2 = . = an，求证：所有边长都相等。4. 设 y 是一个参数，试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, . , 5)的所有解 x1, . , x5。 5. 求证 cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.6. 五个同学 A、B、C、D、E 参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是 ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有 真的相邻（例如，C、D 两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种） 。还 有一种猜测说结果会是 DAECB 的顺序。实际上是恰好有两个

7、同学所得的名次与预测的 一样；而且有两对同学（4 个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后 的名次如何？ 第第 6 届届 IMO1. (a) 求所有正整数 n 使得 2n - 1 能被 7 整除； (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。2. 假设 a、b、c 是某三角形的三边长，求证： a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) 2 个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被 定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有 n 条。 第第 8 届届 IMO1. 在一次数学竞赛中共有 A、B

8、、C 三道题，25 名参赛者每人至少答对了一题。在所 有没有答对 A 的学生中，答对 B 的人数是答对 C 的人数的两倍，只答对问题 A 的人数 比既答对 A 又至少答对其他一题的人数多 1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中， 有一半没有答对 A。请问有多少学生只答对 B？ 2. 三角形 ABC，如果， BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).则该三角形为等腰三角形。3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶 点距离之和。 4. 对任何自然数 n 以及满足 sin 2nx 不为 0 的实数 x，求证： 1/sin 2

9、x + 1/sin 4x + . + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.5. ai （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4） |ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。 6. 在三角形 ABC 的边 BC、CA、AB 上分别任选三内点 K、L、M，求证三角形 AML、BKM、CLK 之中至少有一个的面积小于活等于三角形 ABC 的四分之一。 第第 9 届届 IMO1. 平行四边形 ABCD，边长 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形

10、ABD 是一个 锐角三角形，求证以 A,B,C,D 为圆心半径为 1 的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要 条件是 a cos A + 3 sin A. 2. 若四面体有且仅有一边大于 1，求证其体积 1/8. 3. k, m, n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数，令 cs = s(s+1)，求证 (cm+1 - ck)(cm+2 - ck) . (cm+n - ck)可被乘积 c1c2 . cn整除。 4. 任意两个锐角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 。考虑所有与三角形 A1B1C1相似且外接 于三角形 A0B0C0 的所有三角形 ABC（即 BC 边包含

11、 A0，CA 边包含 B0，AB 边包含 C0） ，试构造出满足此条件的面积最大的三角形 ABC。 5. a1, . , a8 是不全为 0 的实数，令 cn = a1n + a2n + . + a8n ( n = 1, 2, 3, . )，如果数列 cn 中有无穷多项等于 0，试求出所有使 cn0 的自然数 n。 6. 在一次运动会中，连续 n 天内（n1）一共颁发了 m 块奖牌。在第一天，颁发了 一块奖牌以及剩下 m-1 个中的 1/7；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 1/7；依此 类推。在最后一天即第 n 天，剩下的 n 块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几 天，一共颁发了多少块奖

12、牌？ 第第 10 届届 IMO1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。 2. 试找出所有的正整数 n，其各位数的乘积等于 n2 - 10n - 22。 3. a, b, c 是不全为 0 的实数。x1, x2, . , xn 是满足下述方程组的未知数： axi2 + bxi + c = xi+1, 对于 i=1,2,.,n-1；axn2 + bxn + c = x1；若设 M= (b - 1)2 - 4ac ，求证： a.若 M0，则方程组不止有一个解。 4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。 5. 令 f 是定义

13、在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个 a0 及任何 x0 有 f(x + a) = 1/2 +f(x)-f(x)2 求证 f 是周期函数，并且当 a=1 时请给出一个非常值函数的例子。 6. 对任何自然数 n，试计算下式的值 (n+1)/2 + (n+2)/4 + (n+4)/8 + . + (n+2k)/2k+1 + . 其中x表示不超过 x 的最大整数。 第第 11 届届 IMO1. 对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数。 2. 令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + .

14、+ 1/2n-1 cos(an + x), 其中 ai 是实数常量，x 是实数变量。现已知 f(x1) = f(x2) = 0，求证 x1 - x2 是 的整数倍。 3. 对每一个 k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出 a0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其 中 k 个边长均为 a，其余 6-k 个边的长度均为 1。 4. 以 AB 为直径的半圆弧，C 是其上不同于 A、B 的一点，D 是 C 向 AB 作垂线的垂足。 K1 是三角形 ABC 的内切圆， 圆 K2 与 CD、DA 以及半圆都相切，圆 K3 与 CD、DB 及半圆相切。求证：圆 K1、 K2 、 K3 除 AB 外还

15、有一条公切线。 5. 平面上已给定了 n4 个点，无三点共线。求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其 顶点都是已给点集中的点。 6. 给定实数 x1, x2, y1, y2, z1, z2, 满足 x1 0, x2 0, x1y1 z12, x2y2 z22，求证： 8 1 1 (x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2x1y1 - z12+x2y2 - z22并给出等号成立的充分必要条件。 第第 12 届届 IMO1. M 是三角形 ABC 的边 AB 上的任何一点，r、r1、r2 分别是三角形 ABC、AMC、BMC 的内切圆的半径，q 是 AB 外旁切圆

16、的半径（即与 AB 边相切，与 CA、CB 的延长线上相切的圆） ，类似的， q1、q2分别是 AC、BC 外旁切圆的圆心。求 证： r1r2q = rq1q2。 2. 已知 0 xi 0, xn-1 0。如果 ab，xnxn-1.x0 是数 A 在 a 进制下的表示、也是 B 在 b 进制下的表示，则 xn-1xn-2.x0 表示了 A在 a 进制下的表示、 B在 b 进制下的表示。求证：ABc 成立。 4. 试找出所有的正整数 n 使得集合 n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 可被分拆成两个子集 合，每个子集合的元素的乘积相等。 5. 四面体 ABCD，角 BDC 是直角，D 向平面 ABC 作垂线的垂足恰好是三角