定积分的解法

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1、第 1 页 共 13 页第一部分第一部分 定积分的计算定积分的计算一、定积分的计算一、定积分的计算例例 1 1 用定积分定义求极限.)0(21lim1annaaaanL解解 原式=. 1011limaaninxnnidxaaxa11 1101例例 2 2 求极限 .1021lim xxnndx解法解法 1 1 由，知，于是.10 xnn x xx 21010210 xxn10nxdxdx而，由夹逼准则得=0.10nx nnnxdxn 011 1101 1021lim xxnndx解法解法 2 2 利用广义积分中值定理（其中在区间上不变号） ， xgxfba baxgfdxdx xgba,由于，

2、即有界，.10 111102102 nnnn dxxdx xx 1 110 2 n211n，故=0.nndxxn011101021lim xxnndx注注 （1）当被积函数为或型可作相应变换.22,xaxR22,axxR如对积分，可设；31022112xxdxtxtan对积分，由于，可设02202adxxaxxa2222axaxax.taaxsin对积分，可设dxex2ln021.sintex（2）的积分一般方法如下：0,cossincossin2 0dcdttdtctbtaI第 2 页 共 13 页将被积函数的分子拆项，分子=A分母+B分母，可求出，22dcbdacA. 则积分22dcadb

3、cB2 02 0cossinln2cossincossintdtcBAdttdtctdtcBAI.ln2dcBA例例 3 3 求定积分dxxxx1211arcsin分析分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式.解法解法 1 1 dxxxx1211arcsin2txxt12121211212arcsinarcsinarcsin2 1arcsin2ttd tdt tt .1632解法解法 2 2 dxxxx1211arcsin.163 cossincossin2sin2 242242uduuuuuuux小结小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是

4、类似的，但在作定积分换元时还应注意：tx（1）应为区间上的单值且有连续导数的函数；tx,（2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例例 4 4 计算下列定积分（1）， ； 2 031cossinsinxxxdxIdxxxxI2 032cossincos（2）.1cos226 dxexx解解 （1）2 031cossinsinxxxdxI第 3 页 共 13 页)(sincoscos 2023 duuuuux=.sincoscos2 023 Idxxxx故dxxxxxII2 03321cossincossin 21=.4

5、1coscossinsin212 022 dxxxxx（2）I.1cos226 dxexxdxexdueuuxxu2262261cos1cos 2222661cos 1cos 21dxexdxexeIxxx.325 221 43 65coscos212 06226xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dxxdxnn2 02 0cossin 偶 偶偶 偶偶 偶偶 偶nnnnnnnnnn,22421331,1322431 LLLL小结小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为0，a时，设;积分区间为-a,a时，设。可使新的积xauxu 分

6、区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。（2）利用例 10.6(2)中同样的方法易得第 4 页 共 13 页 2 02 0cossincos cossinsin dxxfxfxgdxxfxfxg例例 5 5 设在上具有二阶连续导数， xf, 0 3f且，求 2cos 0 xdxxfxf .0f 解解 xdxxfxfcos 0 20sincossinsincossin000000ffdxxfxxf xdxxfxxxfxfxdxdxf故 . 53220ff小结小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择的原则；dvu,（2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.例

7、例 6 6 计算定积分（为自然数）.xdxn206sinn解解 是以为周期的偶函数.x6sin.85 221 43 654sin4sin2sin22 0622606nxdxnxdxnxdxn原式例例 7 7 证明积分与无关，并求值. 0211xxdxI解解 0211xxdxI，于是 02021 1111xxdxx ttdttxt 022111121xxdxx xxdxI.4arctan21 121002xxdx小结小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.第 5 页 共 13 页二、含定积分的不等式的证明二、含定积分的不等式的证明例例 8 8 证明（1）；.

8、22212121 2 dxeex 20sin2sintdtexxt证证 （1）在上连续，令，得. 2xexf 21,21 022xexfx0x比较与的大小，知在上的最大值为212121 eff 10 f 21,21，最小值为，故 10 fM2121 efm. 22121212122121212 Mdxemex（2）由于以为周期，tetsinsin2 tdtetdtexFtxxtsinsin20sin2sin.sinsin2sin0sintdtetdtett而 uduetutdteutsin2sin 0sin2sin令，tdtetsin 0sin因为 ，0sinsinsinteett., 0t所

9、以 0sin 0sinsintdteexFtt事实上， （2）中所给变上（下）限定积分与无关，仅为取正值的常数.x例例 9 9 设是上单调减少的正值连续函数，证明 xf 1 , 0 dxxfdxxf 0.10证证 利用积分中值定理， dxxfdxxf 0 21ff1,021（因为递减取正值）. 022 21fff xf第 6 页 共 13 页即 dxxfdxxf 0.10例例 1010 设在上连续且单调递增，证明：当时，有 xfb, 0ba 0（101） .2200dxxfadxxfbdxxxfabba分析分析 将定积分不等式（101）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要

10、证的不等式两端做差，并将换成，作辅助函数，即bu uF需证 . 0bF证证 作 ， dxxfadxxfudxxxfuFuaua 0022bua则 dxxfuufuufuFu 021 21（因为递增，） 0210udxxfuf xf 0xfuf于是，由拉格朗日中值公式，有 . 0abFabFaFbF.ba即式（101）成立.例例 1111 设在上连续，且，证明 xf ba, 0af .max,22 xfMabMdxxf bxaba 分析分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计 .xf证证 因为在上连续，故有界，即存在，使， xf ba,0M Mxfbax, ,axMfaxafxfx

11、f故 dxxfdxxfbaba.22abMdxaxMba例例 1212 设在上二阶可导，且，证明 xfa, 0 0 xf .20aafdxxfa第 7 页 共 13 页分析分析 已知二阶可导，可考虑利用的一阶泰勒公式估计；又所证 xf xf xf的不等式中出现了点，故考虑使用处的泰勒公式.2a 20ax 证证 在处的一阶泰勒公式为 xf2a， 222222 axfaxafafxf！其中，在与之间.利用条件，可得x2a 0 xf， 222axafafxf两边从到取积分，得0a .222200 aafdxaxafaafdxxfaa小结小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法：（1） 利用定积分的保序性；（2） 利用积分上限函数的单调性.三、定积分的应用三、定积分的应用例例 1313 求由曲线与直线及所围成的图形分别绕0aaxyaxax2,0y轴、轴及旋转一周所成的旋转体的体积.xy1yxy=a图 118yxOFGBAC(2a,0.5)D(a,1)解解 （1）绕轴旋转，积分变量为xaaxx2 , .2122 a