《2013年高考数学试题(17)推理与证明 3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考数学试题(17)推理与证明 3（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013 年全国高考数学试题分类解析年全国高考数学试题分类解析推理与证明部分推理与证明部分1.（福建文科 12）在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个 “类” ，记为k，即k=5n+k 丨 nZ，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：20111-33；Z=01234;“整数 a，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b0”. 其中，正确结论的个数是A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C2.（广东理科 8）设是整数集的非空子集，如果，有，则SZ, a bSabS称关于数的乘法是封闭的若是S,T VZ的两个不相交的非空子集，且，有；TVZ, ,a b cTabcT，有，
2、则下列结论恒成立的是, ,x y zVxyzVA中至少有一个关于乘法是封闭的 B中至多有一个关于乘,T V,T V法是封闭的C中有且只有一个关于乘法是封闭的 D中每一个关于乘法都,T V,T V是封闭的 （A） 若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封TVTV 闭的，排除 B、 C，若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，TV 此时只有关于乘法是封闭的，排除 DV 3.（广东理科 20） （本小题满分 14 分）设，数列满足，0b na1ab1122n n nnbaaan(2)n （1）求数列的通项公式；na（2）证明：对于一切正整数，n1112nnnba（1）解：1122n n
3、nnbaaan1122nnnaba nan2013 年全国高考数学试题分类解析年全国高考数学试题分类解析推理与证明部分推理与证明部分1211nnnn ab ab 当时，则是以为首项，为公差的等差数列2b 111 2nnnn aann a1 21 2，即11(1)22nnna2na 当且时，0b 2b 11211()22nnnn abb ab当时，1n 12 2(2)nn abbb是以为首项，为公比的等比数列12nn ab2 (2)bb2 b112( )22nnn abbb212 (2)2(2)nnnnn nnb ab bbb b(2) 2nnnnnb bab综上所述(2),022 22nnn
4、nnb bbbab b 且， （2）方法一：证明： 当时，；2b 11122nnnba 当且时，0b 2b 12212(2)(222)nnnnnnbbbbbL12211 2(1)1 2(1)(1)(1) 2222222nnnnnnnnnnnn nn nnn bn bbabbbnbb LLL1 111111121111111 2222222 222222n nnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbb 1112nnb2013 年全国高考数学试题分类解析年全国高考数学试题分类解析推理与证明部分推理与证明部分对于一切正整数，n1112nnnba方法二：证明： 当时，；2b 11122nnnba 当且
5、时，0b 2b 要证，只需证，1112nnnba11(2)122nnnnnnbbb b即证1(2)1 22nnnnnbb bb即证122111 2222nnnnnnnb bbbbL即证1221 11()(222)2nnnn nnbbbbnb L即证2112231122221()()2222nnnnnnnnbbbbnbbbbLL2112231122221()()2222nnnnnnnnbbbb bbbbLL2121232111222()()()()2222nnnnnnnnbbbb bbbbL，原不等式成立212123211122222222222nnnnnnnnbbbbnbbbbL对于一切正整数
6、，n1112nnnba4.（广东文科 10）设是 R 上的任意实值函数，如下定义两个)(),(),(xhxgxf函数和；对任意，；=()( )fgxo()( )f gxRx)(xgf o( ( )f g x()( )f gx.则下列等式恒成立的是（ ）( ) ( )f x g xA. B.)()()()(xhghfxhgfoo)()()()(xhghfxhgfoooC. D.)()()()(xhghfxhgfooooo)()()()(xhghfxhgf解：，)()()()()()(xhxgfxhxgfxhgfo2013 年全国高考数学试题分类解析年全国高考数学试题分类解析推理与证明部分推理与证
7、明部分故 A 不成立；)()()()()()()()(xhxghxhxgfxhghfxhghfo，)()()()()()(xhgxhfxhgfxhgfo故 B 成立。)()()()()()(xhgxhfxhgxhfxhghfoo5.（广东文科 20） （本小题满分 14 分）设，数列满足,0b naba 111(2)1nnnnbaanan（1）求数列的通项公式； na（2）证明：对于一切正整数，。n121n nba解:(1)依题意得：，取倒数得：，111 naba nannn ban bannn1111当时，数列是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，1b nannann则1na当时，令，
8、则，用待定系数法得：1bnnanb bbbbnn111，则数列是以为首项，以为公比)11(1 111bbbbbnn 11 bbn)1 (1 bbb1的等比数列，11)1()1 (11 bbbbbn n111 )1 (1 bbbnnnbbb )1 (1 nnnbbbna1)1 (数列的通项公式是 na ) 1(1)1 () 1( , 1bbbbnb annn，（2）当时，不等式可以验证，显然成立；1b当时，不等式等价于证明，即证明1b11)1 (221n nnnbbbbna) 1(1121nnnbbbnb2013 年全国高考数学试题分类解析年全国高考数学试题分类解析推理与证明部分推理与证明部分又
9、) 1)(1() 1(111211nnnnn bbbbbbbL)() 1(1212221nnnnnnbbbbbbbLL)()111(2 2n nnbbbbbbbLL)1()1()1(2 2n nnbbbbbbbLnnnnnbbbbbbbb21212122 2L6.(湖北理科 15）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在n4n 所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共有 种，至少有6n 两个黑色正方形相邻着色方案共有 种.（结果用数值表示）【答案】43,21解析：设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为，由图可知，nn
10、a，21a32a，213325aaa，324538aaa由此推断，故黑色正方形互1365435aaa21138546aaa不相邻着色方案共有 21 种；由于给 6 个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有 2 种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方6422222226形互不相邻着色方案共有 21 种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共n=1n=2n=3n=42013 年全国高考数学试题分类解析年全国高考数学试题分类解析推理与证明部分推理与证明部分有种着色方案，故分别填.43216443,217.（湖南理科 16）对于，将表示为，*nNn1210 012122222kkk kknaaaaa L
11、当时，当时，为 0 或 1.记为上述表示中为 0 的0i 1ia 1ik ia( )I nia个数， （例如，：故）则011 2 21041 20 20 2 (1)0, (4)2II（1） （2）(12)_I127 ( )12_I nn答案：（1）2；（2）1093解析：（1）因，故；3210121 2 +1 20 20 2 (12)2I（2）在 2 进制的位数中，没有 0 的有 1 个，有 1 个 0 的有个，(2)k k 1 1kC有 2 个 0 的有个，有个 0 的有个，有个 0 的有2 1kCm1m kC1k 个。故对所有 2 进制为位数的数，在所求式中的的和为：1 11k kC kn
12、( )2I n。01122111 1111 22223kkk kkkCCC L又恰为 2 进制的最大 7 位数，所以。7127211277 ( )01122231093I nknk8.（湖南理科 22） （本小题满分 13 分）已知函数() =，g ()=+。fx3xxxx（）求函数 h ()=()g ()的零点个数，并说明理由；xfxx（）设数列满足，证明：存在常*()nanN1(0)aa a1()()nnf ag a数 M,使得对于任意的，都有 .*nNnaM解析：（I）由知，而，3( )h xxxx0,)x(0)0h且，则为的一个零点，(1)10, (2)620hh 0x ( )h x且
13、在内有零点，因此至少有两个零点( )h x12（，）( )h x解法 1：，记，则。1 221( )312h xxx 1 221( )312xxx 3 21( )64xxx2013 年全国高考数学试题分类解析年全国高考数学试题分类解析推理与证明部分推理与证明部分当时，因此在上单调递增，则在(0,)x( )0x( ) x(0,)( ) x内至多只有一个零点。又因为，则在内(0,)3(1)0, ()03( ) x3(,1)3有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当( ) x(0,)1x时，；当时，；所以，1(0,)xx1( )()0xx1( ,)xx1( )()0xx当时，单调递减，而，则在内无零点；1(0,)xx( )h x(0)0h( )h x1(0,x当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；1( ,)xx( )h x( )h x1( ,)x 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。( )h x(0,)( )h x解法 2：，记，则。1 22( )(1)h xx xx 1 22( )1xxx
