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1、第第 7 7 讲讲 如何帮助学生建立分数的初步概念如何帮助学生建立分数的初步概念主讲：宋永福 中学数学一级教师 上海师资培训中心实验基地张叶清 中学数学高级教师 上海师范专科学校附属小学宋：各位老师大家好！我们这一讲的主题是如何帮助学生建立分数的初步概念。在小学阶段，分数概念是非常重要的数概念。因为从历史上看，分数是自然数系的第一次扩充。对于学生而言，这也是认识上的一次重要的飞跃。这一讲我们就来探讨一下如何有效地促进学生对分数初步概念的理解，从而帮助学生建立分数的初步概念。在全国各个版本的小学数学教材上，一般在三年级第一次引入分数概念，我们把它称之为分数的初步概念，通常是这样来定义的：把单位“
2、1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，称为分数。也就是说，如果将一个单位平均分成了 p 份，表示这样的 q 份，就用来表示，就叫做分数。这也是张奠宙先生前面说过的分数的“份数”定义。那么如何帮助学生建立分数的初步概念呢？张：一般地讲，小学阶段属于形象思维阶段，对于这一阶段的小学生，我们在教学时应多注意通过具体直观的模型来帮助学生认识分数的初步概念。宋：我非常同意张老师的看法，因此，在进行分数概念的教学时，我们常用到一些直观具体的模型，来帮助学生学习分数。关于分数的教学模型，一般来讲有两类，分别是连续量模型和离散量模型。其中最常用的连续量模型是圆型模型和线型模型，常用的离散量模型就是小圆
3、片。张：那么，宋老师，在教学中我也常用到这三种模型，那么为什么要选取这样的三种模型来帮助学生直观地认识分数初步概念呢？宋：这样的，这三种在分数教学中常用的模型具有不同的地位和作用。比如说圆型模型，因为分数概念是建立在平均分的基础上的，而对圆形模型平均分活动的结果，都是同一形状，儿童可以通过重叠的方式，来检验平均分活动的完成。我们建议在最初学习分数时，不使用正方形或长方形的物体进行等分割的活动。因为由于分割的方式不同，可能产生等积异形的分割结果。就比如说这里的正方形，把它进行四等分割有 3 种不同的形状。由于儿童刚接触分数，比较难理解“这些不同形状的分割结果都可以用同样的分数来表达”。张：分数初
4、步概念的教学，遵循由简到难的一般教学规律，因此，学生一开始学习分数时，我们总是先介绍最简单的情形，比如说将一个大饼平均分成 4 份，每一份是多少个大饼？等等诸如此类的问题。在这里，分割的对象都是单个的物体。然后逐渐地将分割的对象从单个物体发展为任意的一个整体，可以是一盒铅笔，一箱苹果等等。这时，我们可以问“一盒铅笔共有 10 枝，其中的 3 枝是多少盒铅笔？”这样的问题。因此，分数的初步概念教学还需要离散量模型，以帮助学生完善分数的初步概念。宋：而在这个过程中间，我们需要做一个铺垫，那就是线型模型。线型模型可以沟通连续量（比如说一个大饼）和离散量（比如说一盒铅笔）之间的联系，因为学生已经有了这
5、样的经验：一条绳子，它的长是 5 米，也就是 5 个 1 米。这里，5 米长的绳子它本身是一个连续量，但是对于学生来说还可以将它理解成是 5 个“离散”的 1 米所组成的。这样，线型模型就沟通了连续量模型和离散量模型之间的联系，这也就体现了线型模型的意义。张：有了这三种模型，学生就可以在直观形象的基础上学习分数的初步概念。像前面所说的，分数是自然数系的第一次扩充，那么我们的小学生就应该在自然数的基础上来学习分数的初步概念，在分数初步概念的教学中应抓住哪些与自然数学习的相关经验来帮助学生学习分数呢？宋：学生在学习分数之前，已经具备了许多关于学习自然数概念的经验。分数初步概念的教学应尽量结合学生学
6、习自然数的经验来进行。我们可以联系自然数与分数之间的关系，比如说，自然数，它的单位是 1，分数也有分数单位，我们举个例子，它是；自然数中我们说“3 个 1 就是 3”，分数中我们也可以这样说“3 个就是 ”；自然数中有“1，2，3，4，”这样的自然数序列，那么在分数中也有“ ，”分数的序列。这里它的关键是：构成自然数序列的基础是“几个一就是几”，突出了单位，那么构成分数序列的基础是“几个几分之一就是几分之几。”同样也突出了分数单位。因此，对于分数的初步概念，可以这样来进行教学：第一步：初步认识整体与部分之间的关系。因为用分数表示整体与部分之间的关系是分数初步概念的起点。同时，它揭示了单位“1”
7、不仅可以表示单个物体，例如一个大饼，一根绳子等，也可以表示多个物体的组合，如一盒铅笔、一群鸭子等张：大家在这里可以看到，在教学整体与部分的关系时，同时可以对三种模型进行介绍。宋：第二步：通过具体操作、直观认识几分之一。从心理学的研究来看，学生对单位分数（也就是说是分子为 1 的分数）是较先发展的分数概念，学生在处理与面积有关的分数问题时，先学会，其后是 在处理与长度有关的分数问题时，先会处理 ，其次是 。这里请大家看个课件：另有专家指出，分数教学应尽量利用儿童对平分与公平的直觉，在学习上应从最容易的“对半平分”（也就是一半）、“对分再对分”（就是四分之一）开始，在这种情况，儿童也比较容易操作。
8、大家可以看一看：一个蛋糕，小胖和小丁丁两人对半平分，每人分到多少个蛋糕？对半平分，也就是一人一半，然后引出一半可以用来表示，读作二分之一。这个场景，有 4 个小朋友平均分一个蛋糕张：我在具体进行分数初步概念的教学时发现，很多小学三年级学生在处理分数问题时，只注意到单位被分割成几块，而没有注意到每一块是否相等。因此各位老师在教学时，要经常提醒学生先判断是否等分，使学生养成在使用分数前首先判断是否等分的习惯，从而逐渐把握分数的初步概念。宋：对！帮助学生建立分数初步概念的第三步是：通过几个几分之一的累积来认识几分之几第三步是：通过几个几分之一的累积来认识几分之几。正如前面所说，通过单位分数的累积来认
9、识几分之几，可以有效地使学生联想到自然数的学习经验，为学生顺利地学习分数的初步概念创造条件。这里，大家再看一个课件：把一条长为 1 米的纸带平均分成了 3 份，其中的 2 份的长是多少米？这里需要大家注意的是：一段的长度是米，2 段的长度就是米，也就体现了用单位分数几分之一的累积来认识几分之几。张：值得注意的是，在学习几分之一与几分之几这两个阶段的教学时，教师可以布置分数的听、说、读、写、做活动，从而帮助学生掌握分数的初步概念。那么，什么是分数的听、说、读、写、做活动呢，请宋老师给大家介绍一下。宋：我们这里仅以连续量（一根绳子）为例说明各活动的具体内容：所谓的“说”，它的活动是指：教师出示一条
10、绳子，问学生把这条绳子平均分成了 5 段，然后指着这其中的 2 段说一说是多少条绳子。“写写”的活动是指：教师出示一条绳子，问学生把这条绳子平均分成的活动是指：教师出示一条绳子，问学生把这条绳子平均分成 5 5 段，指着其中的段，指着其中的 2 2段写一写是多少条绳子。段写一写是多少条绳子。“听听”的活动是指：教师念出一个分数数词，要求学生写出分数数字。的活动是指：教师念出一个分数数词，要求学生写出分数数字。“读读”的活动是指：教师写出一个分数数字，要求学生读出分数数词。的活动是指：教师写出一个分数数字，要求学生读出分数数词。“做做”的活动分为两种，一种是：老师出示一条绳子，口头问学生的活动分
11、为两种，一种是：老师出示一条绳子，口头问学生 条绳子是什么意思，要条绳子是什么意思，要求学生能用实际的、图象的或口头描述求学生能用实际的、图象的或口头描述“等分割再合成其数份等分割再合成其数份”的操作活动来指明其数量的操作活动来指明其数量。另一种是指：老师出示一条绳子，写出另一种是指：老师出示一条绳子，写出 条绳子，并问学生这是什么意思，同样要求学生能条绳子，并问学生这是什么意思，同样要求学生能用实际的，或者图象的或口头描述用实际的，或者图象的或口头描述 的（删）的（删）“等分割再合成其数份等分割再合成其数份”的操作活动来指明的操作活动来指明其数量。其数量。张：学生学习分数的初步概念的第四步是
12、：继续通过三种模型及第四步是：继续通过三种模型及“几分之几就是几个几分几分之几就是几个几分之一的累积之一的累积”来帮助学生进一步掌握分数的初步概念来帮助学生进一步掌握分数的初步概念。比如说学习分数大小的比较以及同分母分数的加减计算：这里请大家看一下课件：在同分母分数的比较中，学生在具体的问题情境中比较 和 的大小。学生可以通过画模型图进行比较，也可以由“几分之几就是几个几分之一”，比较容易理解 “3 个 比 7 个小”，从而得出“ ；所以 2 个 2 个；也就是说 ”。张：在同分母分数的加减中，学生也可以通过画模型图或者“几分之几就是几个几分之一的累积”来学习。教师要帮助学生理解“4 个 加上
13、 1 个 是 5 个 ，就是 ”；而“4 个 减去 1 个就是 3 个 ，就是 ”。宋：关于分数的大小比较和同分母分数的加减法，我们还可以找到一个统一的模型来帮助教学。在这个模型上，学生可以进行同分子或同分母分数的大小比较以及同分母分数的加减法。我们可以把这个模型称为“分数墙”，大家可以看到，在这个分数墙这个模型上，我们可以很容易地比较同分子分数或者同分母分数的大小，并且进行同分母分数的加减运算。比如说，要比较与的大小：由此，我们可以很清晰地看到： 是大于 的。我们还可以在上面做同分母分数的加减法，比如说 ，这个位置就是，然后只要再往后面移 4 个，就得到了它的结果，也就是 。在这些阶段的分数
14、初步概念的学习当中，学生逐渐地发展、完善分数的初步概念。张老师，你有一节分数的大小比较的课，上得非常好，请张老师给我们讲一讲。张：那么先让我们来观看一下教学片断：案例 71 （上海师范专科学校附属小学 张叶清）（字幕）宋：在这个教学片断中，大家可以看到，教师在让学生进行分数大小的比较时，并没有将结论直接给出，强输硬灌，要求孩子们去记住那些现成的结论。张：对，我也是这样认为的，在教学中必须注意不能忽视概念形成的一个过程。因为在概念教学中，一般要经过概念的引入、建立、巩固和深化阶段，这个过程是一个复杂的思维过程。要防止重结论、轻过程的错误做法，要通过积极组织有效的数学活动，以确立学生在数学活动中的
15、主体地位，让学生在数学活动中去体验、去思考、去构建、去修正数学概念。宋：在这个教学片断中，我的感受是教师一定要关注学生数学学习的过程，也就是提出问题分析问题解决问题的全过程。张：大家可以从教学片断当中看出，像分母相同的两个分数如何比大小？这就是提出问题的阶段；学生通过画图、分数单位推算等办法进行验证。这就是分析问题的阶段；最后通过交流得出结论：分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。这就是解决问题的阶段。而后面教学中分子相同的两个分数如何比大小的过程也基本如此。宋：我的第二个感受是：这堂课主要采用动手操作画模型图或利用“几分之几就是几个几分之一的累积”来进行简单推理的方法，来处理分数的大小比较
16、问题，在实际的教学过程中，教师给了学生充分从事数学活动的时间和空间。张：对，还有，动手操作是学生参与教学活动的重要方式，在“做中学”的过程当中，学生能对所学知识产生深刻的体验，从中感悟并理解新知识的形成和发展，并总结出数学活动的经验。也就是验证了一句话“听见了，就忘了；看见了，就记住了；而做过了，就理解了”。本节课重新组织了教材，有别于教师直接讲解，让学生被动的看书本上的图片，或者是看课件上了解分数大小比较的方法，那样学生对于分数大小比较的本质不能深刻的理解和掌握。现在让学生通过自己写出任意的两个分数，先进行猜想，而后是通过各种方法和途径进行验证，并通过小组的合作交流，加上课件的演示，使学生能够亲历知识的发生发展过程，从而真正体会到分数大小比较的方法，达到良好的教学效果。张：那么，接下来让我们继续来看教学片断。案例 72 （上海师范专科学校附属小学 张叶清）（字幕）宋：从这个教学片断，我们可以发现教师要注意在教学过程中，鼓励学生观察、思考、质疑、想象、动手；特别要注意，凡是学生能自己想出来的、能讲
