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1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京）卷理科数学（北京）卷本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 9 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。 第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 40 分）分） 注意事项：1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式： 三角函数的积化和差公式正棱
2、台、圆台的侧面积公式Sc c l台侧1 2( )其中 c，c 分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长l球体的表面积公式 其中 R 表示球的半径SR球 42一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。（1）设全集是实数集 R，则等于（ Mxx |22Nx x |1MN）A. B. C. D. |x x 2 |xx 21 |x x 1 |xx 21（2）满足条件的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 （ | |zii 34）A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆（3）设 m、n 是两条不同的直线，是三个不同的平
3、面，给出下列四个命题： , ,若，则 若，则mn / /m n/ / /mm若，则 若，则m/ /n / /mn/ / / /其中正确命题的序号是 （ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和（4）如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若 P 到直线ABCDA B C D1111BB C C11BC 与直线的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 （ C D11） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线（5）函数在区间1，2上存在反函数的充分f xxax( ) 223必要条件是 （ ） A. B. a (, 1a ,)2 C. D. a , 12a (, ,)12（6）已知 a、b
4、、c 满足，且，那么下列选项中一定成立的是 （ ）cbaac 0A. B. C. D. abacc ba() 0cbab22ac ac() 0（7）从长度分别为 1，2，3，4，5 的五条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种。在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m，则等于 （ ）m nA. B. C. D. 1 101 53 102 5（8）函数，其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定f xx xP x xM( ), , ，给出下列四个判断：f Py yf x xP( ) |( ),f My yf x xM() |( ),若，则 若，则PM f Pf M
5、( )() PM f Pf M( )() 若，则 若，则PMRf Pf MR( )()PMRf Pf MR( )()其中正确判断有 （ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。（9）函数的最小正周期是_f xxxx( )cossin cos22 3（10）方程的解是_ lg()lglg4223xx（11）某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是_cm，表3012cm面积是_cm2（12）曲线 C：（为参数）的普通方程是_，如果曲线 C 与直x y
6、cos sin 1线有公共点，那么实数 a 的取值范围是_xya 0（13）在函数中，若 a，b，c 成等比数列且，则有f xaxbxc( ) 2f ( )04 f x( )最_值（填“大”或“小” ） ，且该值为_ （14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为 5，那么的值为_，ana12a18这个数列的前 n 项和的计算公式为_ Sn三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15） （本小题满分 13 分）在中，求的值和
7、的面ABCsincosAA2 2AC 2AB 3tgAABC积（16） （本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱中，AB3，M 为的中点，P 是ABCA B C111AA14AA1BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱到 M 的最短路线长为，设这条最短路线与CC129的交点为 N，求：CC1（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长（II）PC 和 NC 的长（III）平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反 三角函数表示）（17） （本小题满分 14 分）如图，过抛物线上一定点 P（） （） ，作两条直线分别ypx p220()xy00,y00交抛物线于 A（） ，B（）xy
8、11,xy22,（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点 F 的距离p 2（II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求的yy y120值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数（18） （本小题满分 14 分）函数是定义在0，1上的增函数，满足且，在每个f x( )f xfx( )( ) 22f ( ) 11区间（1，2）上，的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一(,1 21 21iii yf x( )部分。（I）求及，的值，并归纳出的表达式f ( )0f ( )1 2f ( )1 4fii()(, ,)1 212（II）设直线，x 轴及的图象围成的矩形的面积为（xi1 2xi1 21
9、yf x( )ai1，2） ，记，求的表达式，并写出其定义域和最i S kaaa nn( )lim() 12S k( )小值（19） （本小题满分 12 分）某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行时刻 表上，规定列车 8 时整从 A 站发车，8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 C 站，在实际运行中，假设列车从 A 站正点发车，在 B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速 度匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为vkm h/ 列车在该站的运行误差。（I）分别写出列车在 B、C 两站的运行误
10、差（II）若要求列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求的取值范围v（20） （本小题满分 13 分）给定有限个正数满足条件 T：每个数都不大于 50 且总和 L1275。现将这些数按下列 要求进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差与所有r1可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；r1然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为） 、第四组（余差为） 、，直至第 Nr2r3r4组（余差为）把这些数全部分完为止。rN（I）判断
11、的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数r rrN12,（II）当构成第 n（nN）组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明rnrnL nn 1150 1 （III）对任何满足条件 T 的有限个正数，证明：N 11参考答案一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。（1）A （2）C （3）A （4）D（5）D （6）C （7）B （8）B 二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 30 分。（9） （10） （11） xx1201,4 3192（12） xy2211()1212a（13）大 -3（14）3 当 n
12、为偶数时，；当 n 为奇数时，Snn5 2Snn5 21 2 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。 满分 13 分。解法一：sincoscos()cos()AAAA2452 2451 2又0180A AAtgAtg4560105456013 1323,()sinsinsin()sincoscossinA 10545604560456026 4SACABAABC1 21 22326 43 426sin()解法二：（1）sincosAA2 2 (sincos)sincos
13、,sin,cosAAAAAAA21 221 2 018000(sincos)sincosAAAA2123 2（2）sincosAA6 2（1）+（2）得：sin A 26 4（1）（2）得：cos A 26 4 tgAA Asin cos26 44 2623（以下同解法一）（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、 逻辑思维能力和运算能力。满分 14 分。解：（I）正三棱柱的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对ABCA B C111角线长为949722（II）如图 1，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，BB C C11CC1120AA C C11点 P 运动到点的位置，连接，则就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱到点 M 的P1MP1MP1CC1最短路线设，则，在中，由勾股定PCxPCx1Rt MAP1理得()32
