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1、函数的性质函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自 变量 x1，x2，当 x1) f(xf(x2 2) )，那么就说 f(x)在 这个区间上是减函数减函数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函 数的单调性 （3）利用函数图 象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函 数2函数的奇偶性（整体性质） 函数的 性 质定义图象判定方法如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x，都有 f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函 数 f(x)叫做奇函
2、数奇函数（1）利用定义 （要先判断定义域 是否关于原点对称）（2）利用图象 （图象关于原点对 称）函数的 奇偶性如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x，都有 f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数（1）利用定义 （要先判断定义域 是否关于原点对称）（2）利用图象 （图象关于 y 轴对 称） （1）偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫 做偶函数 （2） 奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就 叫做奇函数 （3）具有奇偶性的函数
3、的图象的特征 1.偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 2.设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：( )f x( )g x12,D D奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 1 确定 f(x)与 f(x)的关系； 2 作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 3 若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定 义域是否关于
4、原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判 定; (2)由 f(-x)f(x)=0 或f(x)f(-x)=1 来判定; (3)利用定理，或借助函数 的图象判定 . 注：简单性质 函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；)(xf)(xg)(xf)(xg增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。)(xf)(xg)(xf)(xg关于函数按奇偶性的分类关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非 奇非偶函数。 例例 1.1.函数在区间是增函数，
5、则的递增区间是（ ）( )f x2,3(5)yf xAB CD 练习：函数的递增区间依次是 （ ）)2()(|)(xxxgxxf和ABC D 1 ,(,0 ,(), 1 ,0 ,( 1 ,(), 0), 1 ), 0 练习：下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 （ ）A. B. C. xy xy 3xy142xy练习：已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1) |f(1)，则 f(x)在 R 上不是减函数 C.定义在 R 上的函数 f(x)在区间上是减函数，在区间上也是减函数，则(,0(0,) f(x)在 R 上是减函数 D.既是
6、奇函数又是偶函数的函数有且只有一个 练习：定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x),且在1,0上单调递增,设a=f（3）, b=f(),2c=f（2）,则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 练习：定义在区间（，）上的奇函数为增函数，偶函数在，)(xf)(xg上图像与的图像重合.设，给出下列不等式：)(xf)()()()(bgagafbf)()()()(bgagafbf)()()()(agbgbfaf)()()()(agbgbfaf 其中成立的是 ( ) . . . .例例 6 6已知f(x)是一个定义在 R 上的函数，求证：（1）g
7、(x)= f(x)+ f(x)是偶函数； （2）h(x)= f(x)f(x)是奇函数练习：已知函数2( )2|f xxx （）判断并证明函数的奇偶性； （）判断函数在上的单调性并加以证明( )f x( 1,0) 奇偶性奇偶性 例例 1.下列判断正确的是（ ）A函数是奇函数 B函数是偶函数22)(2xxxxf1( )(1)1xf xxxC函数是非奇非偶函数 D函数既是奇函数又是偶函数2( )1f xxx1)(xf练习：设 0，奇函数在 ，上是减函数，且有最小值 2，则函数ab)(xfba|（ ）)(xF)(xf（A）是，上的减函数且有最大值2；（B）是，上的增函数且有最小值abab 2； （C）
8、是，上的减函数且有最小值2；（D）是，上的增函数且有最大值abab 2练习：若函数在上是奇函数,则的解析式为_.2( )1xaf xxbx1,1( )f x例例 2.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） 2( )48f xxkx5,8kA B C D,4040,64 ,4064,U64,练习：若函数在上是减函数，则的取值范围为_。2( )(32)f xkkxbRk练习：已知函数在区间上是减函数， 2212f xxax4 ,则实数的取值范围是（ ）a A B C D3a 3a 5a 3a 练习：函数的对称中心为 1，2 ，则 ， )(xfbax 1()ab练习：函数N的奇偶性为 )(xf1
9、2mmx(m*)例例 3.函数的值域为（ ）11yxx A B C D2,2, 0,2, 0练习：函数45 在闭区间 1，上有最大值 10，则的取值范围是（ y2xxmm ） （A） ，5 ； （B） 1，5 ； （C） 2，5 ； （D） 1， ()练习：函数的单调递减区间是（ ）y22xx （A） 1， ； （B） ，1 ； （C） 0，1 ； （D） 1，2 )(练习：下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增f x( )0x 0x )(xf函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 2( )2f xaxbxx280ba0a 的递增区间为；(4) 和表示相等函数。223
10、yxx1,1yx 2(1)yx其中正确命题的个数是( ) A B C D0123例例 4.判断下列函数的奇偶性： 21( )22xf xx练习：已知函数的定义域为，且对任意，都有，( )yf xR, a bR()( )( )f abf af b且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数0x ( )0f x ( )yf xR是奇函数。 ( )yf x例例 5.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且( )f x( )g xxR1x ( )f x( )g x,求和的解析式.1( )( )1f xg xx( )f x( )g x练习：已知为偶函数，求的解析)(xf时当时当01,1
11、)(,10xxxfx)(xf 式？练习：已知函数，若为奇函数，则_。1( ).21xf xa f xa 练习：已知函数为奇函数、Z ，2，3)(xfcbxax 12 (ab) 1 (f)2(f（1）求的解析式；（2）当0 时，确定的单调递增区间，并给予证明)(xfx)(xf例例 6.设为实数，函数，a1|)(2axxxfRx（1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值。)(xf)(xf练习：已知且，那么8)(35bxaxxxf10)2(f)2(f练习：已知偶函数在上为减函数，比较，的大小。)(xf0 ,)5(f) 1 (f)3(f例例 7.若是偶函数，讨论函数的单调区间？3)3()2()(2xkxk
12、xf)(xf练习：定义在 R 上的偶函数在是单调递减，若)(xf)0 ,(，则的取值范围是如何？) 123() 12(22aafaafa课后作业：课后作业： 1下列判断正确的是（ ）A函数是奇函数 B函数是偶函数22)(2xxxxf1( )(1)1xf xxxC函数是非奇非偶函数 D函数既是奇函数又是偶函数2( )1f xxx1)(xf2若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） 2( )48f xxkx5,8kA B ,4040,64C D ,4064,U64,3已知函数在区间上是减函数， 2212f xxax4 ,则实数的取值范围是（ ）a A B C D3a 3a 5a 3a 4下列四个
13、命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；f x( )0x 0x )(xf(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 2( )2f xaxbxx280ba0a 的递增区间为；(4) 和表示相等函数。223yxx1,1yx 2(1)yx其中正确命题的个数是( ) A B C D0123 5某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中 纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是6函数的单调递减区间是_。xxxf2)(7已知定义在上的奇函数，当时，那么时，R( )f x0x 1|)(2xxxf0x .( )f x 8若函数在上是奇函数,则的解析式为_.2( )1xaf xxbx1,1( )f x9若函数在上是减函数，则的取值范围为_。2( )(32)f xkkxbRk10判断下列函数的奇偶性（1） （2）21( )22xf xx ( )0,6, 22,6f xx U11已知函数的定义域为，且对任意，都有，且( )yf xR, a bR()( )( )f abf af b当时，恒成
