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1、熟记复数八结论 速解有关高考题纵观历年高考数学试题，涉及复数的内容年年有，而且所占份量不少，同时还发现都是在一些中低档的常规题，但是许多学生在复习时，由于不注重方法，往往事倍功半，其实稍作研究可知，绝大部分的试题均可以利用课本中例题或习题或其引申题结论，就能快速求解，下面将归纳出八条常结论，结合高考试题加以说明。结论 1 (1i)22i，(1i)44，i，in的周期性。例例 1 1 (1993 年全国高考题)，z，则 z100z501 的值等于_。A1 B1 Ci Di解：由结论 1，可知 z2i有 z100z501(i)50(i)251i，选(D)例例 2 2 (1997 年上海高考题)已知
2、 a，那么 a4_。解：a1i，由结论 1 知 a4(1i)44，应填4。剖析：证明的第二步运用了 Sk+11，而这正是本题需要证明的关系，上述解法犯了循环论证的错误。事实上，本题的结论是不存在的，当 n5 时，凸 5 边形有 5 条对角线，而 S56 条，故命题不正确。结论 2 1 的立方虚根 w的系列性质，其中，则 i，则 w3n1，3n1，2，2，210，210例例 3 3 (1994 年上海高考题)设复数 zi，则满足 znz，且大于 1 的正整数 n 中最小是：A3 B4 C6 D7解：由 z 及结论 2 知 当 n，有 n3k1(kZ)又 n1 且 nN 的最小值 n4，选(B)。
3、例例 4 4 (1996 年全国高考题)复数等于：A1i B1i C1i D1i解：原式21i，故选(B)。例例 5 5 (1998 年全国高考题)复数-i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是( )解：由结论 2 知，i3i，(i)33i3i(其中 i) i 是i 的另两个立方根，即i，是i 的立方根，选(D)。结论 3 若复数 zabi(a，bR)，则有 ctg(argz)例例 6 6 (1998 全国高中联赛题)已知复数 z1sinicos()，求 z 的共轭复数的辐角主值。解：1sinicos，且，有 1sin0，cos0，则tg(argz)tg()又 的辐角主值是：例例 7 7
4、(1999 年全国高考题)设复数 z3cosi2sin，求函数 yarcz(0)的最大值以及对应的 值。解：由 0，得 tg00 由 z3cosi2sin，得 0argz tg(argz)tg tgytg(argz)由均值不等式及正切函数的单调性有：当 arctg时，ymaxarctg结论 4 设 z 是虚数，m0，若 zR，则|Z|2m例例 8 8 (1992 年“三南”高考题)求同时满足下列两个条件的所有复数 z：(I)z是实数，且 1z6(II)z 的实部和虚部都是整数解：若 z 为实数，有|z|26，不合题意，则 z 必为虚数。设 zxyi(x，yR，且 y0) z是实数，由结论 4
5、知 |z|210，即 x2y210 1z6，z2x 12x6，x3 由和条件()可得 x1，y3 或 x3，y1，所以同时满足条件()、()的全体复数是 13i，3i例例 9 9 (1996 年上海高考题)设 z 是虚数，z是实数，且12求|z|的值及 z 的实部的取值范围。设 ，求证 是纯虚数。求 2的最小值。解：设 zxyi，(x，yR，且 y0) 由 zR 及结论 4 知|z|21 即|z|1zz2x，又 12 z 的实部的取值范围是(，1)|z|1，x2y21(y0) i 是纯虚数.22x2x2x2(x1)3.又x(，1)，x10 22z13当 x1，即 x0 时上式取等号。 2的最小
6、值是 1结论 6 把 z1对应的向量绕原点 O 施转 角，同时把模变为原来的 r 倍，则所得的向量对应的复数是 z2z1r(cosisin)(逆时针旋转为“”，顺时针旋转为“”)特别地，OZ1OZ2ki(kR，且 k0)例例 1010 (1990 年全国高考题)把复数 1i 对应的向量拔顺时针方向旋转后，得到向量对应的复数是( )Ai Bici Di解：由结论 6 知所求复数是(1i)1(cosisin)(1i)(i)i选(B)例例 1111 (1995 年全国高考题)在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1、Z2、Z3、O(其中 O 为原点)，已知 Z2对应的复数 z21i
7、，求 Z1、Z3对应的复数 z1、z3解：依题意和结论 6，知 z1z2(cosisin)iz3z2(cosisin)i例例 1212 (1997 年全国高考题)已知复数 zi，i，复数，z23在复平面上的对应的点分别是 P、Q，证明OPQ 是等腰三角形(其中 O 为原点)。解： zicos()isin() z3iicosisin 41于是 z34i由此得 OPOQ，|OP|OQ|因此OPQ 有两边相等且夹角为直角，故OPQ 为等腰直角三角形。结论 5 若 z1，z2C，满足|z1|z2|1，则有 z1z2例例 1313 (1990 年全国高考题)已知 sinsin，coscos，求 tg()
8、的值解：设 z1cosisin，z2cosisin则|z1|z2|1，z1z2i有|z1z2|2 z1z2i又 z1z2cos()isin() tg()例例 1414 (1995 年上海高考题)已知|z1|z2|1，且 z1z2i，求 z1和 z2的值。解： |z1|z2|z1z2|1 z1z2(z1z2)2i z1和 z2是方程 z2(i)z(i)0 的两根即(z1)(zi)0解得：z11，z2i 或 z1i，z21结论 7 |z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2； |z1|z2|z1z2|z1|z2|；z|z|2； z1z212； z 为纯虚数z0(z0)；zRz； z2Rz
9、R 或 z 为纯虚数。例例 1515 (1990 年广东省高考题)已知复数 z1，z2满足|z1|3，|z2|4，|z1z2|5，求|z1z2|的值。解：由结论 7 知 |z1z2|5例例 1616 (1992 年全国高考题)已知复数 z 的模为 2，则|zi|的最大值为( )A1 B2 C D3解：由结论 7 知：|zi|z|i|3，选(D)例例 1717 (1992 年全国高考题)已知复数 z 满足 z3i13i，求复数 z。解：由 z3iz13i 及结论 7 知 z3iz13i ，得2z 代入得z2(23i)z(1-3i)0 即(z1)(z13i)0解得：z1 或 z13i结论 8 常见几何曲线的复数方程：圆|zz0|r； 中垂线|zz1|zz2|；椭圆|zz1|zz2|2a(2a|z1z2|)； 线段|zz1|zz2|2a(2a|z1z2|)；双曲线|zz1|zz2|2a(2a|z1z2|)；射线|zz1|zz2|2a(2a|z1z2|，其中 a0，r0。 例例 1818 (1994 年全国高考题)设复数 z 满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是( )A1 BC2 D解：由结论 8 知，复数 z 在复平面所对应的线段 AB，如图线段 AB 上 B 到点 C 的距离最短，|BC|1，选(A)
