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1、1多元函数条件极值的解法与应用多元函数条件极值的解法与应用【摘要摘要】 多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等等问题上的应用问题上的应用. .【关键词关
2、键词】 极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；应用应用 The solution and application of multivariatefunction conditional extreme【Abstract】The multivariate function conditional extreme value is an important part of the differential calculus. This article maninly analicys substitution method，Lagrange multipl
3、ier method, Substitution of standard quantum method,Inequality method, Quadratic equation discriminent method,Gradient method and Mathematical combination method in solving the multivariate function conditional extreme value. And discuss the applications of multiple function conditional extreme valu
4、e in proving inequality , physics and production sales.【key words】Extremum,Conditional extreme value,Lagrange multiplier method,Gradient method, Application1.引言 多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它 学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的 问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.如文1 讨论了
5、方向导数法在求解多元函数条件极值上应用，文2讨论了柯西不等式在求解一些特殊的多元函数 条件极值问题时的应用.本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各 种解法进行分析类比，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法，其中最常用的是拉格 朗日乘数法，但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方 法是快速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用 问题.2.简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念2.1 函数的极值定义 2.1.1设元函数在点的某个邻域内有定义,如3n(2)n 12(
6、,)nzf x xxL000 12(,)nxxxL果对该邻域内任一异于的点都有(或000 12(,)nxxxL12( ,)nx xxL000 1212( ,)(,)nnf x xxf xxxLL)，则称函数在点有极大值(或极小值)000 1212( ,)(,)nnf x xxf xxxLL000 12(,)nxxxL.极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.000 12(,)nf xxxL2.2 函数的条件极值定义 2.2.1函数在个约束条件 3 12( ,)nzf x xxLm12( ,)0inx xxL2下的极值称为条件极值.(1,2,;)im mnL3. 多元函数普通极值
7、存在的条件定理 3.1（必要条件）若元函数在点存在偏导数，且n(2)n 12( ,)nzf x xxL000 12(,)nxxxL在该点取得极值，则有 000 12(,)0 ixnfxxxL(1,2, )inL备注：使偏导数都为的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.0定理 3.2（充分条件）设元函数在附近具有二阶连续3n(2)n 12( ,)nf x xxL000 12(,)nxxxL偏导数，且为的驻点.那么当二次型000 12(,)nxxxL12( ,)nzf x xxL000 12 ,1( )(,) ijnx xnij i jgfxxx L正定时，为极小值；当负定时，为极大值；当不定时，00
8、0 12(,)nf xxxL( )g000 12(,)nf xxxL( )g不是极值.000 12(,)nf xxxL记，并记000 12(,) ijijx xnafxxxL，11121321222312kkkkkaaa aaaAaaa L L MMMM L它称为的阶矩阵.对于二次型正负定的判断有如下定理：fkHesse( )g定理 3.3若 ，则二次型是正定的，此时为极3det0kA (1,2, )knL( )g000 12(,)nf xxxL小值；若 ，则二次型是负定的，此时为极大( 1) det0k kA(1,2, )knL( )g000 12(,)nf xxxL值.特殊地，当时，有如下
9、推论：2n 推论 3.1 若二元函数某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 00( , )(,)zf x yxy在点的0000(,)0,(,)0xyfxyfxy令 000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy则 当时，.20ACB0,0,AA 取极大值取极小值当时，没有极值.20ACB3当时，不能确定，需另行讨论.20ACB4介绍多元函数条件极值的若干解法4.1 代入消元法 通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简 单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件 极值来解决.例 4
10、.1.1 求函数在条件下的极值.( , , )f x y zxyz0xyz解 由 解得，0xyz2zxy将上式代入函数，得 ( , , )f x y zg(x,y)=xy(2-x+y)解方程组 222y20220xygxyygxxyx 得驻点 1222PP =33（0，0），（，-）， 2xxy g222xygxy 2yygx 在点处，1P0,2,0ABC，所以不是极值点22=0240ACB 1P从而函数在相应点处无极值；( , , )f x y z(0,0,2)在点处，2P44,2,33ABC，224424()03333ACB 又，所以为极小值点403A 2P因而，函数在相应点处有极小值(
11、, , )f x y z22 2( , )33 3极小值为.22 28( , )33 327f 4.2 拉格朗日乘数法3拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉 格朗日乘数法更方便适用.求目标函数在条件函数组限制下的极值，12( ,)nf x xxL12( ,)0,(1,2,)knx xxkm mnLL若及有连续的偏导数，且 Jacobi 矩阵12( ,)nf x xxL12( ,)knx xxL的秩为，则可111122221212nnmmmnxxxxxxJxxx LLMMMMLm以用拉格朗日乘数法求极值.4首先，构造拉格朗日函数1211212 1
12、( ,)( ,)( ,)mnmnkkn kL x xxf x xxx xx LLLLL然后，解方程组0,1,2,0,2,ikLinxLkimLL从此方程组中解出驻点的坐标 ，所得驻点是函数极值的可疑点，需进000 12(,)inP xxxL(1,2, )ikL一步判断得出函数的极值.定理 4.2.1（充分条件） 设点及个常数000 012(,)nxxxxLm12,m L满足方程组 ，100m i i ikkklLf xxx (1,2, ;1,2,)kn lmLL则当方阵 20,12(,)m kln nLxxx L为正定（负定）矩阵时，为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件
13、0x0()f x极小（大）值.例 4.2.1 求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.2222221xyz abc解 此椭球在点处的切平面为000(,)P xyz000 000222222()()()0xyzxxyyzzabc化简,得 000 2221xyzxyzabc此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,abc xyz则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006a b cVx y z由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大；V000x y z即求目标函数在条件下的最大值，( , , )f x y zxyz2222221xyz abc其中，拉格
14、朗日函数为0,0,0xyz5222222( , , , )(1)xyzL x y zxyzabc由 解得;22222222220;20;20;1Lxyzxa Lyxzyb Lzxyzc xyz abc ,333abcxyzmin3(,)2333abcVVabc说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据 多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别 式法、梯度法、数形结合法. 4.3 标准量代换法 求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为 比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的 关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例 4.3.1设,求的最小值.4xyza222uxyz解 取 为标准量, 33xyza令 ,33aaxy则 (为任意实数),3az, 从而有 222()()()333aaau2 222223a22 222()33aa等号当且仅当, 即时成立，03axyz所以的最小值为.u23a4.4 不等式法44.4.1 利用均值不等式6均值不等式是常用的不等式，其形式为，12 1
