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1、如图如图,ABC,ABC 中中,AB=AC,AB=AC,1、 如图，ABC 中，AB=AC，BAC=90，D 是 BC 边上任意一点，求证 BD2+CD2=2AD22、 在三角形 ABC 中，AB=AC=m,P 为 BC 上任意一点，则 PA2+PB*PC的值为多少？解：过点 A 作 ANBC 于 N。(不妨设 P 在 NC 上）AP2+PB*PC=AB2-BN2+(NC-PC)2PB*PC=m2-BN2+BN2+PC2-2BN*PC+PB*PC=m2+PC(PC-2BN+PB)=m2三角形是等腰三角形3、 在三角形 ABC 中，BC=6，AD 是 BC 边上的中线，交 BC 于点D，AD=3
2、，AB+AC=8，则三角形 ABC 的面积是_解：AD 是中线，BC=6，AD=3BAC=90BA2+AC2=BC2=36AB+AC=8AB2+2AB*AC+AC2=642AB*AC=64-36=28AB*AC=141/2AB*AC=7ABC 的面积=74、 在三角形 ABC 中，AB=5，AC=13,高 AD=12，则三角形 ABC 的周长是_42 或 32_5、 在矩形 ABCD 中,已知 AB=3,AD=4,P 是 AD 上的动点,PE 垂直于 AC于 E,PF 垂直于 BD 于 F,则 PE+PF 等于多少？解：假设 AC、BD 的交点是 O，连接 POSAPO(1/2)AO*PESD
3、PO(1/2)DO*PF所以 PE+PF2SAPO/AO + 2SDPO/DO根据勾股定理，AODO5/2所以 PE+PF(4/5)*(SAPO+SDPO)(4/5)*SAOD(4/5)*(344)12/56、 E 为正方形 ABCD 的边 AB 上一点，AE=3 BE=1 P 为 AC 上的动点，则 PB+PE 的最小值等于多少？解：两点之间直线最短在 AD 上做 AF=AP=3连接 FB这时 P 点是 PB+PE 的最小值的点，应该是 根号下（32+42）=57、 如图：已知 DE=m,BC=n, EBC 与DCB 互余，求 BD2+CE2解:沿 BE 和 CD 做一延长线交点为 A.因为
4、EBC+DCB=90.所以,BAC=90所以 BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2 所以 CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2 又有EAD=BAC=90所以 AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2 所以有 BD2+CE2=m2+n2 8、 已知：ABC 中，ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC 的度数。解：将CPB 绕点 C 逆时针旋转 90 度得到CPB,连接 PP 所以CPB 全等于CPA所以 CP=CP BP=PA PCB=PCA所以PCB+ACP=PCA+ACP因为角 ACB 等于 90所以角
5、PCP 等于 90在等腰直角三角形 PCP 中角 CPP 等于 45因为 CP=CP=2所以 PP等于 2 倍根号 2因为 AP=BP=1 AP=3所以 PP等于根号下 AP 的平方减 AP的平方PP等于 2 倍根号 2所以角 APP=90所以角 CPB=角 APC=角 APP+角 PPC=90+45=1359、 如图，CD 是ABC 的中线，CN=MN，求证 AM=CB。10、 （1）如图 1，把正方形 CGEF 的对角线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上(CGBC)，取线段 AE 的中点 M,探究线段 MD,MF 的关系，并加以证明。（2）将正方形绕点旋转任意角度后（如图
6、 3） ，其他条件不变探究：线段E 与的关系，并加以说明解：(1)线段 MD、MF 的关系是 MD=MF，DMMF。延长 DM 交 CE 于 N，连结 FD、FN。由正方形 ABCD，得AD/BE，AD=DC，所以DAM=MEN。因为 AM=EM，AMD=E（.隐藏.）8。因为7+DCF=8+FEN=90，所以DCF=FEN，易得DCFNEF，所以FD=FN，DFC=NFE。由CFE=90，得DFN=90，所以 MD=MF，DMMF。11、 矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10。若在 AC，AB 上各取一点M，N，使 BM+MN 的值最小，求这最小值。解：遇到这类问题我们一般做镜像,也就
7、是做轴对称,作 B 点关于 AC的对称点 E,连接 AE 交 CD 于 F,连接 CE,过 E 作 EN 垂直 AB 交 CD 于G 交 AC 于 M,连接 MB,所以 BMMNNMEM，显然 EN 垂直 AB 时值最小由于 CEF 为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形 EFC 斜边高 EG=6,所以 EN=BC+EG=16.12、已知正方形 ABCD 的边长 AB=k（k 是正整数） ，正PAE 的顶点 P 在正方形内，顶点 E 在边 AB 上，且 AE=1. 将PAE 在正方形内按图 1 中所示的方式，沿着正方形的边AB
8、、BC、CD、DA、AB、.连续地翻转 n 次，使顶点 P 第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形 ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图 2 是 k=1时，PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若 k=1，则PAE 沿正方形的边连续翻转的次数 n= 时，顶点P 第一次回到原来的起始位置.（2）若 k=2，则 n= 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；若 k=3，则n= 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点 P 第一次回到原来的起始位置的 n 值与k 之间的关系（请用含 k 的代
9、数式表示 n）.分析：这是一道面动滚动型问题，正PAE 在滚动的过程中，第 1 次以点 E 为圆心，第 2 次以点 P 为圆心，第 3 次以点 A 为圆心第 4 次又以点 E 为圆心.，每 3 次成循环，而半径始终为 1。而把四边形展开顶点 A、B、C、D、A.，每 4 个成循环。故问题 1 转化为求 3 与 4 的最小公倍数即 12；问题 2 中，三角形每转 2次，顶点才会重合一次，故需 24 次；问题 3 中，三角形每转 3，顶点 A 便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需 12 次；总结一、二两题的规律，可归纳得出第 3 题的结论。解：（1）12 次（2）24 次；12 次（3）当 k 是
10、 3 的倍数时，n=4k；当 k 不是 3 的倍数时，n=12k.12、 设 x、y 为正实数，且 X+Y=4 。 求根号下 X 的平方加 1 加上根号下 Y 平方加 4 的最小值？解：解:令 T=(x2+1)+(y2+4)则 T0T2=x2+1+y2+4+2(x2+1)(y2+4)=x2+y2+5+2(x2y2+4x2+y2+4)因为 x+y=4 所以(x+y)2=16 即 x2+y2=16-2xy因为 x,y 都是正实数 所以 4x2+y24xy（当且仅当 2x=y 时取等号）所以 T221-2xy+2(x2y2+4xy+4)=21-2xy+2(xy+2)2= 25因为 T0,所以 T5（
11、当且仅当 2x=y 时取等号）即最小值是 5。(此时 x=4/3,y=8/3) 13、正ABC 的边长为 3 厘米边长为 1 厘米的正RPQ 的顶点 R 与点 A 重合点 PQ 分别在 ACAB 上将RPQ 沿着边ABBCCA 顺时针连续翻转直至点 P 第一次回到原来的位置则点 P 运动路径的长为 CM解：在 AB 上翻转时，是两段半径为 1，圆心角是 120 度的弧。在 BC 上，CA 上也一样。一共 6 段，长为 3.14*2*1*2=12.56 厘米13、 在菱形 ABCD 中,AD=BD=6,点 E 是 AD 上的一点,AE=2,点 P 是对角线 BD 上的一个动点,则 PA+PE 的最小值。
