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1、第 1 页 共 21 页“数字黑洞数字黑洞”及其简易证明及其简易证明安徽省芜湖县大闸中学安徽省芜湖县大闸中学 林闯林闯 241121241121近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问题。这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光“知其然”，而且
2、“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明.问题问题1 1： ：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，重
3、复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！趣味数学（适合初一、初二、（适合初一、初二、初三）初三）第 2 页 共 21 页分析：如果我们先取18，首先我们得到，然后是5138133153315333，接下去又是153，于是就陷在“” 153153 F（F代表上述的变换规则，下同）这个循环中了。 再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列：1535131080792684756FFFFF这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“”这个循环中。随153153 F便取一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，
4、或迟或早，你总会掉到“”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“153153 F黑洞”T153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此呢？西方把153称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经新约全书约翰福音第21章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门 彼得就去把网拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破.圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈，对此作出了证明.美国数学月刊对有关问题还进行了深入的探讨.以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是：1. 设,当时，有kxxxn
5、215k kFxxxFnFk3 219999k310又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，所以 k410kk310即，也就是对于5位以上的整数，每143101010kk kxxxFnF21110k做一次变换它的数位都会减少若干位，所以经过有限次变换后其数位必然收缩到五位以下. 2. 现在的问题归结为探讨4位及4位以下的整数n的“黑洞”是否存在的问题，于是问第 3 页 共 21 页题就变得简单的多了.对于1位数和2位数我们可以很轻松地验证不存在“黑洞”，而对于任意一个3位数或4位数，因为每个数的操作步骤的不确定性和无法预测性，所以很难用一个纯粹的、数学的方法来证明它一定会掉进“”15315
6、3 F这个循环中，笔者也没有见到可以浅显地证明它的相关文章.但是，因为我们所要验证的数字的个数是有限个，所需要进行的推算也应该是有限步（如果不出意外的话），所以我们完全可以让计算机来完成这有限步的验算工作.对计算机编程感兴趣的读者可以自己动手（或向计算机老师请教）来编制一个简单的程序：对所有4位数以内的3的倍数，即从3到9999这3333个自然数进行一一验证，最后你会惊奇地发现，所有的3的倍数经过一系列的规定运算后无一例外地都会掉进153这个数字“黑洞”之中.这也应该算是一个“人机联手”的证明范例吧！问题问题2 2： ：（西西弗斯串）任取一个自然数数串，例如35962，数出这数中的偶数字个数、
7、奇数字个数及所有数字的个数，就可得到2、3、5，用这3个数组成下一个数字串235.对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123.于是123就是一个数字黑洞.分析：读者肯定会问， ，是否对于每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。例如：88883337777444992222，在这个数中偶数字、奇数字及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入“黑洞”了.这就是的数字黑洞“西西弗斯串”.它也是因为一个著名的古希腊神话而得名.我国大多数数学爱好者最早了解这
8、个数字黑洞，大概是得益于美国宾夕法尼亚大学教授米歇尔 埃克的数学黑洞一文，此文曾被连载在参考消息1993年3月14日17日的报纸上.然而遗憾的是，连这位著名的大数学家米老师也不能给出一个让第 4 页 共 21 页人信服的证明.但令人振奋的是，9年后的2002年，我国北京师范大学附属中学的王雪琴老师却给出了一个巧妙的、简洁的证明.有兴趣的读者可以去研读文1.问题问题3 3： ：（角谷猜想）任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数.或迟或早，你总会掉到421这个循
9、环中，或者说，你总会得到1.分析：这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的.在西方它常被称为西拉古斯(Syracuse)猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古斯大学被研究的；而在东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家角谷静夫的名字命名，被称作角谷猜想.角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大学发生了.有人猜想，这个问题是苏联克格勃（前苏联特工组织作者注）的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑.这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求.” 比如说
10、我们先取5，首先我们得到35+1=16，然后是162=8，接下去是4，2和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在421这个循环中了. 再举个例子，最开始的数取7，我们就会得到下面的序列：7221134175226134020105168421这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在421这个循环中.随便取一个其他的自然数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到421这个循环中，或者说， 你总会得到1.已经有人用计算机对所有小于100250=112589990684262400的自第 5 页 共 21 页然数进行验算，无一例外.那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？这看起来是个多么简单的问题啊！
11、但读者朋友们可千万别小看这个“简单”得连小学二、三年级学生都能看懂的问题，要想证明它却是非常之难！二十多年前，有人向伟大的匈牙利数论学家保尔厄尔多斯(Paul Erdos)介绍了这个问题，并且问他怎么看待现代数学对这个问题无能为力的现象，厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题.”这种神奇的力量不知来自何方，是否可解释为一个很大的或很小的输入，最终都能得到一个稳定的输出，使一个无限的宇宙缩小为一个可控制的有限的宇宙呢.多么有趣的数字黑洞呀！这里给读者提供一个QBASIC小程序，用来快速验证角谷猜想。 REM验证角谷猜想 INPUT “N=”；N PRINT N； “”； 40 IF
12、N=1 THEN PRINT 1: END IF N/2=INT(N/2) THEN N=N/2 ELSE N=3*N+1 IF N1 THEN PRINT N；“”；:GOTO 40 RUN问题问题4 4： ：（2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题）重排任一个三位数三个数位上的数字（三个数字不完全相同），得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成另一个三位数（允许百位数字为零）。再重复以上过程，问重复2003次后所得的数是多少？证明你的结论.分析：例如 103， 310-013=297，972-279=693，963-369=594，954- 459=495.第 6 页 共
13、 21 页再比如518，851-158=693，963-369=594，954-459=495.这显然是一个三位数的数字“黑洞”问题，这个“黑洞”就是495.所以原问题的答案是495.简证：任取一个三位数，不妨设abc.因为a、的数字到为、90cbaabcn b、c不完全相同，所以两个等号不可能同时取到.即1c-a9. accbaabcabccbaabcFnF991010010100 099，198，297，396，495，594，693，792，891. nF而495495594693792891099FFFFFF495594693792198FFFF495594693297FFF证毕.49
14、5594396FF问题问题5 5： ：（卡布列卡猜想）印度数学家卡布列卡在研究数学问题时发现一个有趣的现象：用不完全相同的四个数字组成一个四位数，将组成这个四位数的四个数字重新排序，组成一个最大的数和一个最小的数，并用最大的数减去最小的数，对减得的差再重复上述操作，差如果不够四位数时，用零补位。不断地做下去，最后变成了一个固定不变的数：6174.卡布列卡做过大量的试验，结果不论从任何满足条件的四位数开始，最后总能变成6174.因此，卡布列卡风趣地把6174叫做卡布列卡常数.分析：例如，我们从4231开始，首先把4231重新排列成4321和1234，两数相减得3087；再把3087重新排列成87
15、30和0378，两数相减得8352；再把8352重新排列成853 2和2358，相减得6174；再把6174重新排列成7641和1467，两数相减仍然得6174.4231：4321-1234=3087 3087：8730-0378=8352；8352：8532-2358=6174； 6174：7641-1467=6174.第 7 页 共 21 页再比如对于3109，9310-0139=9171，9711-1179=8532，8532 - 2358 =6174。而6174这个数也会变成 6174，7641-1467=6174.这是一个四位数的数字“黑洞”问题，“黑洞”就是6174.前苏联作家高基莫夫在其所著的数学的敏感一书中，曾把它列作“没有揭开的秘密”。事实上，这里的证明方法完全类似于问题4的“简证”，只不过是讨论的情形多几种罢了.请读者自行证明，在此不再赘述.于是乎这个“卡布列卡猜想”在今天应该改名为“卡布列卡定理”了.有时候“黑洞”并不仅仅只有一个数，而是有好几个数，它们像走马灯一样兜圈子，但又仿佛孙悟空跌进了如来佛的手掌心。例如，对于五位数，已经发现了两个“圈”，它们分别是63954，61974，8
