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1、7.1 试根据公式证明，对于非相对论粒子l l lpaV , 22 22212 22xyzpnnnmmLh,0,1,2,xyznnn L有 2.3UpV上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解: 处在边长为 L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为, （1）2 22212 2xyzn n nxyznnnmLh,0,1,2,xyznnn L为书写简便起见，我们将上式简记为（2）2 3, laV其中是系统的体积，常量，并以单一指标3VL2 2222 2xyzannnmh代表三个量子数.l,xyznnn由式（2）可得（3）5 11322.33aVVV 代入压强公式，有（4）22,33
2、l lll llUpaaVVV 式中是系统的内能.ll lUa上述证明示涉及分布的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹 la曼分布、玻色分布和费米分布都成立.前面我们利用粒子能量本征值对体积 V 的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系. 式（4）也可以用其他方法证明. 例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪统计物理学导论6.2 式（8）和6.5 式（8）. 将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4） ，见第九章补充题 2
3、式（6）.需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形. 如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的 U 仅指平动内能.7.2 试根据公式证明，对于相对论粒子l l lpaV , 1 22222xyzcpcnnnLh,0, 1, 2,xyzn n n L有 1.3UpV上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解: 处在边长为 L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为（1）1 22222xyzn n nxyzcnnnLh,0, 1, 2,xyzn n n L用指标 表示量子数表示系统的体积，可将上式简l,xyzn n n V3VL记为（2）1 3, laV其中 1 22222.x
4、yzac nnnh由此可得（3）4 311.33llaVVV 代入压强公式，得（4）1.33l lll llUpaaVVV 本题与 7.1 题结果的差异来自能量本征值与体积 V 函数关系的不同.式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率 ，最概然速率和方均根速率ms.解: 参照式（7.3.7）（7.3.9） ，可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布. 速度分布为（1）22 2ed d.2xymkT xymkT速率分布为（2）2 22
5、ed .2mkTm kT平均速率为2 22 0edmkTmkT（3）.2kT m速率平方的平均值为2 232 0ed2.mkTmkT kT m因此方均根速率为（4）22.skTm最概然速率条件m22de0dm kT 确定. 由此可得（5）.mkTm值得注意，上述三种速率均小于三维气体相应的速率，这是,sm 由于二维和三维气体中速率在 到中的分子数分别与速度空间d的体积元和成正比，因而二维气体中大速率分子的相对2d 24d比例低于三维气体的缘故.7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为 22221,2xyzpppaxbxm其中是常量，求粒子的平均能量., a b解: 应用能量均分定
6、理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式 中和两面三刀项都是 的函数，不能直接将能量均2axbxx分定理用于项而得2ax出的结论. 要通过配方将 表达为21 2axkT（1）22 2221.224xyzbbpppa xmaa在式（1）中，仅第四项是 的函数，又是平方项. 由能量均分定理x知22 2221 24xyzbbpppa xmaa（2）2 2.4bkTa7.18 试求双原子分子理想气体的振动熵.解: 将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动. 以表示振动的圆频率，振动能级为（1）1,0,1,2,2nnnhL振动配分函数为（2）1 v2 1 01 2v 1e,1 e 1lnZln
7、1.2nnZee hhhhh双原子理想气体的熵为vvv 11lnlnZln 1 ee1SNkZNk h hh（3）vvvln 1 e, e1TTTNk 其中是振动的特征温度.vkh7.20 试求爱因斯坦固体的熵.解: 根据式（7.7.2）求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为113lnZlnZ3ln 1 e.e1SNkNk h hh8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解: 如8.3 所述，令玻色气体降温到某有限温度，气体的化cT学势将趋于-0. 在时将有宏观量级的粒子凝聚在的基态，cTT0称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度由条件cT（1） 0de
8、1ckTDn确定.将二维自由粒子的状态密度（习题 6.3 式（4） ） 222ddLDmh代入式（1） ，得（2）2202d.e1ckTLmnh二维理想玻色气体的凝聚温度由式（2）确定. 令，上式可cTcxkT改写为（3）2202d.e1cxLxmkTnh在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有211e1 ee,e1e1 exxx xxx L则0d111e123xx L（4）11.nn式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.7 计算温度为 T 时，在体积 V 内光子气体的平均总光
9、子数，并据此估算（a）温度为 1000K 的平衡辐射.（b）温度为 3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积 V 内，在到的圆频率范围内光子的量子态数为d（1） 2 23dd .VDc温度为 T 时平均光子数为（2） d,d. e1kTDNT h因此温度为 T 时，在体积 V 内光子气体的平均光子数为（3） 2230d.e1kTVN Tc h引入变量，上式可表示为xkTh 322303 3 233d e12.404.xVkTxxN TckVTchh或（3） 3 3 2332.404.kn TTch在 1000K 下，有1632 10.nm在 3K
10、下，有835.5 10.nm8.11 试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度 计算 6000K 和 1000K.uJ时的值.uJ解: 根据式（8.4.3）和（6.2.15） ，在单位体积内，动量大小在到，动量方向在 到到范围内，平衡辐射的光pdppd , d子数为（1）232sin d d d,e1cppp h 其中已利用式（8.4.2）将动量为的光子能量表示为 cp，因子 2 是p计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的. 以 dA 表示法线方向沿z轴的器壁的面积元. 以表示在d d d A tdt 时间内碰到 dA 面积上，动量大小在到
11、，方向在 到pdpp到范围的光子数. 它等于以 dA 为底，以为高，d , dcos dct动量在范围内的光子数. 因此单位时间（）内，碰到单d d dp d1t 位面积的器壁上（或穿过单位面积） ，动量在范围内d1A d d dp 的光子所携带的能量为（2）232sin d d dcos.e1cpppccph 对式（2）积分，从 0 到从 0 到从 0 到，即得到辐射p,22动量密度uJ为2322 300023302dsincos dde1 2d.e1ucpcpcppJh cpp h 令，上式可表示为xcp42330424321d e126,90uxcxxJhcckT hc 或（3）24 4
12、 23.60ukJTch在 6000K，有727.14 10 J m ;uJ在 1000K，有520.55 10 J m .uJ8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解: 根据式（8.5.4） ，绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F1,fpp（1）F0,fpp其中是费米动量，即 0 K 时电子的最大动量. 据此，电子的平均Fp动量为（2）FF34 F30F 23 F3081d34.814d3ppVppphppVppph因此电子的平均速率为（3）F F33.44ppmm8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在 0K 时的费米能量、内能和简并压.解: 极端相对论
13、条件下，粒子的能量动量关系为.cp根据习题 6.4 式（2） ，在体积 V 内，在 到的能量范围内，极d端相对论粒子的量子态数为（1） 2 38dd .VD ch式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题 6.4 式（2）的结果乘以因子 2.0 K 下自由电子气体的分布为（2） 1,0 ;0,0 .f费米能量由下式确定： 0 023 330881d0 ,3VVN chch故（3） 1 330.8nch0 K 下电子气体的内能为 0003 304 3d8d8104UDVchVch（4） 30 .4N根据习题 7.2 式（4） ，电子气体的压强为（5） 110 .34UpnV8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为 试求 0 K 时二. n维电子气体的费米能量、内能和简并压.解: 根据 6.3 题式（4） ，在面积 A 内，在 到的能量范围d内，二维自由电子的量子态数为（1） 24dd .ADmh式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将 6.3 题式（4）的结果乘以 2.0 K 下自由电子的分布为（2） 1,0 ;0,0 .f费米能量由下式确定： 0 022044d0 ,AANmmhh即（3） 22 0.44
