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1、广东教育高中2015年第2期GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG tan tan（ ）tan tan（ ） 1tan tan（ ）17 71 5117 71 53 2， tan（ 2）tan（ ） tan（ ） tan 1 tan（ ）tan 1 53 211 53 21， tan17 7，（0，）， （0， 2）. （4， 2）， 2 （，2）. 2（，0）， 24点评： 本题实施了 “ 2（ ）” 角的变换角的变化应因题而异， 它是架起 “已知” 与 “未知” 之间的 “桥梁”， 只有仔细观察， 善于分析， 我们才能发现 “桥梁”， 并借助这条 “桥梁” 走向成功六、
2、利用换元和消元转化例6（1） 函数ysinxcosxsinxcosx的最大值是（2） 已知sincos 2sin，sinsinsin2，求证：2cos2cos2解析：（1） 设sinxcosxt， 则sinxcosxt21 2， 且t2姨，2姨，于是yt21 2t12（t1）2112（2姨1）211 22姨（2）sin cos 2sin，sinsinsin2，得 （sin cos）22sincos（2sin）22sin2.即14sin22sin2，整理，得2cos2cos2问题得证点评： 通过换元， 可将三角问题转化为其它代数问题去解决， 从而化 “陌生” 为 “熟悉”通过消元， 可以找到三角
3、函数式之间的内在关系， 从而将 “复杂” 变 “简单”七、 利用正余弦定理转化例7在ABC中， 已知sin2Asin2Bsin2C sin2Asin2Bsin2C1cos2C 1cos2B，试判断ABC的形状解析： 从本例的等式结构来看， 情况较为复杂， 因此，应综合应用正余定理、 三角形内角和定理、 勾股定理， 先进行化简， 再讨论法1（化成纯角的关系）： 应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：a2b2c2 a2b2c22cos2C 2cos2B， 再由余弦定理将其变形为：2abcosC 2accosBcos2C cos2B，整理得cosC cosB（bccosC cosB）0， 由c
4、osC cosB0， 得C90，由b ccosC cosB0， 及依据正弦定理得：sinB sinCcosC cosB，即sinBcosBsinCcosC sin2Bsin2C 2B2C或2B2C180， 即BC或BC90综上所述：ABC是等腰三角形或直角三角形法2（化成纯边的关系）： 应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：a2b2c2 a2b2c22cos2C 2cos2B， 即 （a2b2c2）cos2B（a2b2c2）cos2C应 用 余 弦 定 理 有 （a2b2c2） a2c2b2 2ac（a2b2c2） a2b2c2 2ab.整理得（a2b2c2）（a2c2b2） （bc）0
5、，所以有a2b2c20或a2c2b20或bc0.所以ABC是等腰三角形或直角三角形点评： 解决此类问题的基本方法是利用正余弦定理将已知的边角关系式或转化为边 （多项式） 的关系， 或转化为角（三角函数） 的关系注意不能随意约去公因式， 否则结论便不完整了（作者单位： 江苏省太仓市明德高级中学）第四篇： 试看平面向量如何转化严俊我们知道， 平面向量是 “数” 与 “形” 的完美统一， 是数学解题的一把 “利剑”“利剑” 虽好， 却也离不开转化破茧成蝶， 方可振翅高飞那么在平面向量解题中有哪些转化途径呢？一、 转化为方程问题例1若a軆，b軋是两个不共线的向量，a軆与b軋起点相同， 则当t为何值时，
6、a軆，tb軋，1 3（a軆b軋）三向量的终点在同一条直线上？解析： 把三点共线转化为两个向量平行利用共线定理建立方程， 就可算出参数t设O軋軋A a軆，O軋軋B tb軋，O軋軋P 13（a軆b軋）， A軋軋P O軋軋P O軋軋A 2 3a軆1 3b軋，A軋軋B O軋軋B O軋軋A tb軋a軆要使A、B、P三点共线， 只需A軋軋P A軋軋B 即23a軆1 3b軋tb軋a軆有2 3，1 3 t圯2 3，t1 2 .37广东教育高中2015年第2期点拨数学有数BEOA图2图1DCAB当t1 2时， 三向量终点在同一直线上点评： 向量的线性运算， 从本质上说， 就是用代数方法解决几何问题而向量共线定理
7、的应用往往与方程思想 “结伴同行”二、 转化为函数问题例2设e1?，e2?为单位向量， 非零向量b軋x e 1?y e 2?，x，yR若e1?，e2?， 的夹角为 6， 则xb軋的最大值等于解析： 将xb軋表示成含有某些变量的函数形式， 进而求其最值2b軋（xe1?）2（ye2?）22xye 1?e 2?x2y22xycos30 x2y23姨xy.而xb軋2x2 2b軋x2 x2y23姨xy11（y x）23姨（y x）1（y x3姨 2）2144，因此xb軋的最大值为2点评： 与向量有关的最值问题一般两种思路： 或利用图形特征，抓住向量 “形” 的特点， 利用几何性质来解； 或抓住向量 “数
8、” 的特点， 通过向量的有关运算转化为函数的最值问题三、 转化为图形问题例3（1） 设向量a軆，b軋，c軆满足a軆 b軋 1，a軆b軋1 2，（a軆c軆），（b軋c軆）60， 则c軆的最大值等于（2） 已知e軆 1，a軆e軆， 对坌tR总有a軆te軆 a軆e軆，则e軆与a軆e軆的夹角是解析： 此类题若用代数方法将困难重重， 构造图形解题却是一条捷径（1） 如图1， 构造圆的内接四边形ABCD， 其中AM?Ba軆，AM?B b軋，CAB120，则AM?B c軆，CDB60， 当c軆为圆直径时最大，c軆max2（2） 如图2， 记OM?E e軆，OM?A a軆，OM?B te軆， 则依题意， 任意
9、的AM?BAM?E故AM?E应为点A到直线OE的距离， 所以e軆与a軆e軆的夹角为 2点评： 平面向量问题， 往往离不开图形图形可以帮助我们抓住问题的本质， 从而达到简化运算的效果尤其是对于平面向量数量积运算问题， 更要 “多用图， 用好图”四、 利用基底向量转化例4在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是BC边上一点，DC2BD， 则AM?DBM?C 解析： 由题中条件可以选择AM?B，AM?C作为一组基底， 只需将AM?D，BM?C用AM?B，AM?C表示即可求解 DC2BD， BM?D 1 3BM?C BM?C AM?C AM?B，AM?D AM?B BM?D AM?B 1 3BM
10、?C AM?B 1 3（AM?C AM?B）23AM?B 13AM?C AM?DBM?C （2 3AM?B 1 3AM?C）（AM?C AM?B）1 3AM?C22 3AM?B21 3AM?BAM?C 1312 341 321（1 2）83点评： 借助原有图形对所求向量进行分解转化， 化为用一组基底表示的向量进行处理， 此法要求所选的基底的模与夹角可知， 体现了 “分解与转化” 的数学思想， 可以减少思维量， 特别对于平面图形不含坐标系或不方便建立坐标系的情况， 更加有效五、 利用解析法转化例5若 等 边ABC的边长为23姨， 平面内一点M满足CM?M 1 6CM?B 2 3CM?A，则MM?
11、AMM?B 解析：MM?A，MM?B，MM?A与MM?B的夹角都不易求得， 由于ABC是等边三角形， 故可建立平面直角坐标系， 将等边ABC的三个顶点用坐标表示， 进而将点M的坐标表示出来即可以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的坐标系则B（3姨，0），C（3姨，0），A（0，3） CM?B （23姨，0），CM?A （3姨，3），CM?M 1 6CM?B 2 3CM?A （3姨 3，0）（2 33姨，2）（3姨，2） OM?M OM?C CM?M （0，2），MM?A （0，1），MM?B （3姨，2） MM?AMM?B 22b軋AxyCOBM图338广东教育高中2
12、015年第2期GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG点评： 设a軆（x1y1），b軋（x2y2） 则a軆b軋x1x2y1y2， 用此法解决向量数量积问题， 必须先建立合适的平面直角坐标系，把向量坐标化， 从而把几何问题代数化解析法又叫坐标法，可使向量数量积运算程序化六、 转化为三角函数问题例6已知向量a軆（sinx，1），b軋（cosx，3 2）（1） 当a軆 b軋时， 求cos2x3sin2x的值；（2） 求f（x）（a軆 b軋） b軋的最小正周期和单调递增区间解析：（1） 由向量平行列方程解出tanx的值， 所求式子转化成正切单角名称的三角代数式， 代入可求解由a軆 b軋
13、得3 2sinxcosx0， 即tanx2 3，所以cos2x3sin2xcos2x6sinxcosx sin2x+cos2x16tanx 1tan2x45 13（2） 进行向量坐标形式的数量积运算得到f（x）的解析式，转化为yAsin（x ）b函数结构因为a軆（sinx，1），b軋（cosx，3 2），所以a軆b軋（sinxcosx，1 2）.f（x）（a軆b軋） b軋（sinxcosx）cosx3 41 2（sin2xcos2x）+5 42姨 2sin（2x4）54.所以最小正周期为由2k22x42k2（kZ）， 得k3 8xk 8（kZ），故单调递增区间为 （k38，k8）（kZ）点评：
14、 在高考命题中， 三角函数与平面向量的综合性问题是最常见的解答题题型之一题目条件中往往给出向量的坐标中含有三角函数的形式， 并已知向量间共线或垂直等关系，这时我们只需依据向量的坐标运算法则， 将原向量问题转化为纯三角函数问题来求解（作者单位 ： 江苏省太仓市明德高级中学）第五篇： 不等式问题离不开转化 与化归思想吴琳琳在中学数学中， 不等式问题堪称 “第一杀手”的确， 不等式问题灵活多变， 令人难以琢磨， 伤透脑筋我们知道， 数学问题的求解关键在于合理转化， 不等式问题何尝不是如此！真可谓 “不等式问题离不开转化与化归思想”一、 利用不等式性质转化例1已知1lgxy2，2lgx3 y姨3， 求lgx3 y3姨的取值范围解析： 由将已知条件变形， 得1lgxlgy2，23lgx12lgy3，令lgxlgya，3lgx12lgyb，解得lgx2ba 5，lgy2b6a 5 . lgx3 y3姨3lgx13lg
