证明(二)经典讲义

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1、创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼1证明（二）证明（二）1你能证明它们吗一、主要知识点 1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有 HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。 2、 等腰三角形的有关知识点。 等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。 （三线合一） 3、 等边三角形的有关知识点。 判定：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是 60的三角形是等边三角形；有两个叫是 60的三角形是等边三角形。 性质：等

2、边三角形的三边相等，三个角都是 60。4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法反证法二、重点例题分析 例 1: 如下图，在ABC 中，B=90，M 是 AC 上任意一点（M 与 A 不重合）MDBC，交ABC 的平分线于点 D，求证：MD=MA.例 2 如右图，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD.例 3： 如图：已知 AB=AE，BCED，BE，AFCD，F 为垂足, 2 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼21ABCD OODCBA求证:

3、 ACAD； CFDF。例 4 如图 1、图 2，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOBCOD90， （1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗？请说明理由（4 分） （2）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达力 2 的位置，请问 AC 与 BD 还 相等吗？为什么？（8 分）例 5 如图，在ABC 中，AB=AC、D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且 CE=BD，连结 DE 交 BC 于 F。 （1）猜想 DF 与 EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。例 6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙

4、楼三楼32直角三角形一、主要知识点1、直角三角形的有关知识。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这 两个命题称为互逆命题互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互互 逆定理逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理逆定理

5、. 二、典型例题分析例 1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果 ab=0,那么 a=0,b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等例 2：如图，中，求的长。ABC3590 , 12,22CCDBD AC例 3 ：如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。CADB4 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例 4：如图，一架 2.5 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B 到墙底端 C 的距离

6、为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？CA1B1AB例 5 ：如图 2-5 所示在等边三角形 ABC 中，AE=CD，AD，BE 交于 P 点，BQAD 于 Q求证：BP=2PQ3.线段的垂直平分线 4.角平分线一、主要知识点1、 线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角

7、形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼53、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为 互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 二、重点例题分析 例 1：（1）在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于M，A，求NMB 的大小040（2）如果将（1）中A 的度数改为，其余条件不变，再求NMB 的大小 070（3）你发现有什么样的规律性？试证明之. （4）将（1）中的A 改为钝角，对这个问题规律性的认识

8、是否需要加以修改例 2：在ABC 中，AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F，垂足为 D，若 AC=6，BC=4，求BCF 的周长。E C F A D B 例 3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB 与 CD 相交于点 E。求证：直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。A C D E B ABCNMABCNMABCNM6 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例 4：如图所示，在ABC 中，AB=AC，BAC=1200，D、F 分别为 AB、AC 的中点，DE ABFG AC，E、G 在 BC 上，BC=15cm，求 EG 的长度。A D F B E G C 例

9、 5:：如图所示，RtABC 中，D 是 AB 上一点，BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E，CD 交 BE 于点 F。求证：BE 垂直平分 CD。C E A D B F 例 6:：在ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点 O 作直线 MNBC，与 ACB 的角平分线交于点 E，与ACB 的外角平分线交于点 F，求证：OE=OF例 7、如图所示，ABAC，A的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作DE AB于 E，DF ACF于，求证：BE=CF。A E B M C F D 21AOFECBMN创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼

10、三楼7相应练习相应练习 1、 如图，在ABC 中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE 相交于点 P，BQAD 于 Q。求 证：BP=2PQ2、 如图，ABC 中，AB= AC，P、Q、R 分别在 AB、BC、AC 上，且 BP=CQ，BQ=CR。求证：点 Q 在 PR 的垂直平分线上。3、 如图，ABC 中，AD 为BAC 的平分线，AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F，连 接 AF。 求证：B=CAF4、 已知：如图，ABCD，BAC 的角平分线与DCA 的角平分线交于点 M，经过 M 的直 线 EF 与 AB 垂直，垂足为 F，且 EF 与 CD 交于 E 求证：点

11、 M 为 EF 的中点EDFCBAPQEDCBAQRPBCAECMADFB8 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼单元训练题一、精心一、精心选选一一选选，慧眼，慧眼识识金（每小金（每小题题 3 分，共分，共 30 分）分）1如图 1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形 状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配. A. B. C. D. 和 2下列说法中，正确的是（ ）. A两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D面积相等的两个三角形全等 3如图 2，ABC

12、D，ABD、BCE 都是等腰三角形，如果 CD=8cm，BE=3cm，那么 AC 长为（ ）.A4cm B5cm C8cm Dcm344如图 3，在等边中，分别是上的点，且，AD 与 BE 相ABC,D E,BC ACBDCE交于点 P，则的度数是（ ）.12 A B C D0450550600755如图 4，在中，AB=AC，BD 和 CE 分别是和的平分ABC036AABCACB线，且相交于点 P. 在图 4 中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）. A9 个 B8 个 C7 个 D6 个6如图 5，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的123, ,l

13、l l距离相等，则可供选择的地址有（ ）. A1 处 B2 处 C3 处 D4 处7如图 6，A、C、E 三点在同一条直线上，DAC 和EBC 都是等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结论： ACEDCB； CMCN； ACDN. 其中，正确结论的个数是（ ）.创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼9A3 个 B2 个 C 1 个 D0 个 8要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使CD=BC，再作出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在同一条直线上（如图 7） ，可以证明，得 ED=AB

14、. 因此，测ABCEDC得 DE 的长就是 AB 的长，在这里判定的条件ABCEDC是( ).AASA BSAS CSSS DHL 9如图 8，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 E 的 位置，BE 交 AD 于点 F. 求证：重叠部分（即）是等腰三角形.BDF 证明：四边形 ABCD 是长方形，ADBC又与关于 BD 对称，BDEBDC . 是等腰三角形.23 BDF 请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）. ；12 13 34 BDCBDE A B C D10.如图 9，已知线段 a，h 作等腰ABC，使 ABAC，且 BCa，BC 边上的高 ADh. 张红的作法是：（1）作线 段 BCa；（2）作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相 交于点 D；（3）在直线 MN 上截取线段 h；（4）连结 AB， AC，则ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 二、二、细细心填一填，一心填一填，一锤锤定音（每小定音（每小题题