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1、1 常微分方程 P142-练习 1 1.解微分方程xyyyx2 （答案：Cxxy)arctan(2） 解：可分离变量为12dyxdxxy，两边积分12dyxdxxy, 解得Cxxy)arctan(2. （其中2222=2=2 -arctan=2(arctan)111xtxttdxtdtdtttCxxCxtt令 2.解微分方程0)sin2()cos(2dyxxydxxyy 解：2( )cos ,( )2sinP xyyxQ xxyx， 由于( )( )2cosP xQ xyxyx在全平面上恒成立，故微分方程为全微分方程. 原方程整理得22cossin0y dxxydyyxdxxdy， 即22()
2、(sin +sin)0y dxxdyydxxdy， 即222()( sin )0(sin )0sind xyd yxd xyyxxyyxC. 故方程的通解为 2sinxyyxC P144-练习 2 1.微分方程02 yyy的通解为_y 解：02 yyy的特征方程为2 1,22101,rrr 故微分方程02 yyy的通解为 12()xyeCC x 2.微分方程0yyyy的通解为_y 解：0yyyy的特征方程为32 12,3101,rrrrri ， 故微分方程0yyyy的通解为 123cossinxyCeCxCx 2 P146-练习 3 1.微分方程xxeyyy 2的一个特解_*y 解：20yyy
3、的特征方程为2 1,22101rrr 由于1 是特征重根，故可设原方程的一个特解为*2()xyx axb e， 代入原方程解得 1,06ab，故特解为*31 6xyx e. 2.用待定系数法确定sinyyxx的特解形式为_*y 解：0yy的特征方程为2 12101,1rrr , 由于0不是方程yyx的特征根，故可设方程yyx的特解为 * 1yaxb， 由于i 不是方程sinyyx特征根，故可设方程sinyyx的特解为* 2sincosycxdx， 则原方程的一个特解形式为 * 12sincosyyyaxbcxdx . P147-练习 4 1.设()12cossinxye CxCx=+为某二阶常
4、系数齐次线性方程的通解，则该方程为 【解题思路】【解题思路】 本题已知方程的通解，反求微分方程一般根据通解性质得出特征方程的根，从而得出特征方程，由此可得微分方程 解：1,21ri= 是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根， 即有22(1)1220220yyryrr -+= -+= =为所求二阶常系数齐次线性方程. P148-练习 5 1.解微分方程222)()(2yxxyy （答案：Cxyx122） 解：令2222xyuxyyu，代入原方程得 3 2 211uududxxCuu ，则1,uxC 即方程的通解为 221xyxC 2.解微分方程xy yxyy2 tan21 2 解：令2 22
5、yuyxuyyuxux，代入原方程得cos1tanlnsinlnlnlnsinuxuududxuxCCxux ， 则2 sinsinyuCxCxx， 方程的通解为 2 sinyCxx. P149-练习 6 1.解微分方程12 yyxyx 解：换元tex ，则xtln，xdxdt1， 因为 dtdy xdxdt dtdy dxdy1， 所以 )(11)1()(222dtdy dxd xdtdy xdtdy xdxd dxdy dxd dxyd )(111222222dtdy dtyd xdxdt dtyd xdtdy x， 即有 dtdy dxdyx，dtdy dtyd dxydx2222 2
6、代入原方程可化为：221d yydt， 通解为 12sincos1yCtCt 即 12sinlncosln1yCxCx 4 P151-练习 7 1.解微分方程023 yyyx （答案：21 112CxCCy） 解：令yp，则yp， 原方程可化为 320xppp，为一阶可分离变量方程. 分离变量得211 (1)2dppx ，两边积分211 (1)2dppx ， 解方程得 211lnln(1)lnln22ppxC ， 化简得11 1pC x ， 其中121CC. 即12 111211yyC xCCC x . 其中12,C C为任意常数. P155-练习 8 1. 设函数)(xf有连续的导函数，2)
7、0(f，又对半平面0x内任意简单闭曲线L，均成立0)()(2422 Ldyxxfdxxxyf，试求)(xf 解：由已知条件知 PQ yx，其中224( )=2(),( )= ()P xxyf xQ xf xx 即 2232()() 24xf xfxxx， 即( )( )2fxf xx， 通解为 ( )2(1)xf xCex 再由(0)2f得4C ， 故( )42(1)xf xex 2.设函数)(rfu ，22lnyxr满足方程3222222)(1yxyu xu，求)(rf 解：22( ),uxfrxxy， 2222222222( )( )()uxyxfrfrxxyxy5 同理 2222222222( )( )()uyxyfrfryxyxy. 代入3222222)(1yxyu xu中整理得： 221( )rfr xye ，即( )rfre 解得21)(CrCerfr
