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1、1二元一次不等式（组）所表示的平面区域教学案例二元一次不等式（组）所表示的平面区域教学案例 一、案例背景一、案例背景1、教材分析、教材分析（1）教材的地位和作用）教材的地位和作用不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，不等不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，不等式则是刻画现实世界中这些不等关系的数学模型，是进行数学研究、式则是刻画现实世界中这些不等关系的数学模型，是进行数学研究、解决许多实际问题的重要工具，因而关于不等式的知识是高中数学解决许多实际问题的重要工具，因而关于不等式的知识是高中数学学习的主要内容。本节课中通过探究二元一次不等式学习的主要内容。本节课中通过探究二元一次
2、不等式或或的解集的几何意义，了解不等式是刻画的解集的几何意义，了解不等式是刻画0CByAx0CByAx区域的重要工具，进而介绍二元一次不等式（组）所表示的平面区区域的重要工具，进而介绍二元一次不等式（组）所表示的平面区域。域。在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的
3、线性规划）的基础，起到承是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。前启后的作用。（2） 教材的重点、难点和关键教材的重点、难点和关键教学重点：二元一次不等式教学重点：二元一次不等式(组组)表示平面区域；表示平面区域；教学难点：建立相应的数学模型和在实际问题中的应用。教学难点：建立相应的数学模型和在实际问题中的应用。2、学生分析：、学生分析：对于相等关系学生学习的比较多，而不等关系学习的较少。当对于相等关系学生学习的比较多，而不等关系学习的较少。当今，在社会生活的许多方面，数学正从幕后走向台前，因而数学课今，在社会生活的许多方面，数学正从幕后走向台前，因而数学课2程
4、应力求使学生体验在解决实际问题中的作用，以及数学与日常生程应力求使学生体验在解决实际问题中的作用，以及数学与日常生活、其他学科的联系。为了将活、其他学科的联系。为了将“发展学生的意识发展学生的意识”提升到一个新的提升到一个新的高度，促进学生逐步形成和发展教学应用意识，提高实践能力，制高度，促进学生逐步形成和发展教学应用意识，提高实践能力，制定以下教学目标。定以下教学目标。3、教学目标：、教学目标：（1 1）知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；（2 2）能力目标：增强学生数形结合的思想，提高分析问题、解决能力目标：增强学生数形结
5、合的思想，提高分析问题、解决问题的能力；问题的能力；（3 3）情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。体过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。4、教学手段：、教学手段：本节课采用本节课采用引导发现法、探索讨论法，以多媒体作为教学辅助引导发现法、探索讨论法，以多媒体作为教学辅助手段，探究手段，探究二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示平面区域，并通过讲练结合巩表示平面区域，并通过讲
6、练结合巩固所学知识。固所学知识。二教学步骤二教学步骤1.课题引入课题引入课件展示下面的方程课件展示下面的方程. 0, 0,80001210,700yxyxyx师：观察四个不等式中，前两个不等式的共同特点是什么？师：观察四个不等式中，前两个不等式的共同特点是什么？3生：都含有两个未知数，且未知数的最高次数是生：都含有两个未知数，且未知数的最高次数是1.类似方程组，构成一个不等式组类似方程组，构成一个不等式组师：给出二元一次不等式师：给出二元一次不等式(组组)的定义的定义二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是数是 1 1 的不等式叫
7、做二元一次不等式的不等式叫做二元一次不等式二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组组称为二元一次不等式组注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分最高次数加以区分2 2探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形数数轴上的区间轴上的区间二元一次方程表示的是什么图形？二元一次方程表示的是什么图形？ 直线直
8、线思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？么图形？问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线AxByC0分为几部分？分为几部分？两部分两部分 以以xy10 为例进行直观说明，引出以下概为例进行直观说明，引出以下概念：念：每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面以不等式解（以不等式解（x,yx,y）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象示的区域或不等式
9、的图象4如何求二元一次不等式表示的平面区域？如何求二元一次不等式表示的平面区域？我们先研究具体的二元一次不等式我们先研究具体的二元一次不等式xy10 的解集所表示的图的解集所表示的图形形问题二：平面内所有的点被直线问题二：平面内所有的点被直线xy10 分成几类？分成几类？如图：在平面直角坐标系内，如图：在平面直角坐标系内，xy10 表示一条直线表示一条直线平面内所有的点被直线分成三类：平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线第一类：在直线xy10 上的点；上的点；第二类：在直线第二类：在直线xy10 左下方的区域内的点；左下方的区域内的点；第三类：在直线第三类：在直线xy10 右上方的区域
10、内的点右上方的区域内的点问题三：每部分中的点都有哪些特点？问题三：每部分中的点都有哪些特点？在直线的上方、下方取一些点：在直线的上方、下方取一些点：上方：（上方：（0 0，2 2） ， （1 1，3 3） ， （0 0，5 5） ， （2 2，2 2）下方：（下方：（-1-1，0 0） ， （0 0，0 0） ， （0 0，-2-2） ， （1 1，-1-1）分别把点的坐标代入式子分别把点的坐标代入式子xy1中，会有什么结果？中，会有什么结果？直线上方的点使的直线上方的点使的xy10 ；直线下方的点使的；直线下方的点使的xy10 猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？猜想：直线同
11、侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？问题四：直线问题四：直线xy10 右上方的平面区域如何表示？左下方的右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？平面区域呢？xy10 ；xy10 由学生自行归纳总结，不要求证明由学生自行归纳总结，不要求证明结论：直线结论：直线AxByC0把平面直角坐标系中不在直线上的点把平面直角坐标系中不在直线上的点分成为两部分，同一侧点的坐标使式子分成为两部分，同一侧点的坐标使式子AxByC的值具有相同的符的值具有相同的符11yxO5号，并且两侧的点的坐标使式子号，并且两侧的点的坐标使式子AxByC的值符号相反，一侧都大的值符号相反，一侧都大于于 0 0，一侧都小于
12、，一侧都小于 0 0问题五：如何判断问题五：如何判断AxByC0表示直线表示直线AxByC0哪一侧哪一侧平面区域？平面区域？根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点，),(00yx从从00ABCyx的正负即可判断不等式的正负即可判断不等式AxByC0表示直线哪一侧表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法的平面区域，这种方法称为代点法概括为：概括为： “直线定界，特殊点定域直线定界，特殊点定域” ，简称为：，简称为：“线定界，点定域线定界，点定域”特别地，当特别地，当0C时，常把原点作为特殊点，即时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定
13、直线定界、原点定域域” 问题六：问题六： 0CyAxB表示的平面区域与表示的平面区域与0CyAxB表示的表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？平面区域有何不同？如何体现这种区别？把直线画成实线以表示区域包含边界直线；把直线画成实线以表示区域包含边界直线；把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线 3.知识运用知识运用例例1 1画出下面二元一次不等式表示的平面区域：画出下面二元一次不等式表示的平面区域：（1 1）2xy30； （2 2）3x2y60设计以下几个问题设计以下几个问题: : (1)(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实不等式表示
14、的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？线还是虚线？(2)(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好? ?6学生完成，教师指导。学生完成，教师指导。例例 2 2画出下列不等式组表示的平面区域画出下列不等式组表示的平面区域（1 1）2xy10 xy10 （2 2）2x3y20 2y10 x30 设计以下几个问题：设计以下几个问题：(1)(1)不等式组表示的平面区域如何确定？不等式组表示的平面区域如何确定？( (各个不等式表示的平各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分面点集的交集即各个不等式所
15、表示的平面区域的公共部分) )(2)(2)第二小题中加上条件第二小题中加上条件x,yN，又会是什么图形呢？，又会是什么图形呢？用课件展示两个例题（例用课件展示两个例题（例 2 第二小题中加上条件第二小题中加上条件x,yN后为公后为公共平面区域内的整点）共平面区域内的整点）师：总结画师：总结画二元一次不等式或不等式组所表示的平面区域的方二元一次不等式或不等式组所表示的平面区域的方法：法：（1）作直线（注意虚实）作直线（注意虚实） ；（2）取点验证，一般取原点或一些较简单额整点；取点验证，一般取原点或一些较简单额整点；（3）判断。判断。例例3 3一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮甲种肥车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐料需要的主要原料是磷酸盐4 4吨，硝酸盐吨，硝酸盐1818吨；生产吨；生产1 1车皮乙种肥料车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐需要的主要原料是磷酸盐1 1吨，硝酸盐吨，硝酸盐1515吨现有库存磷酸盐吨现有库存磷酸盐1010吨，吨，硝酸盐硝酸盐6666吨如果在此基础上进行生产，设吨如果在此基础上进行生产，设分别为计划生产甲、分别为计划生产甲、yx,乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并乙两种混合肥料的车皮数，请列出满
