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1、 北京大学数学科学学院期末试题 2009 -2010 学年第 1 学期 考试科目 高等代数高等代数I 考试时间 2010 年年 1 月月 8 日日 姓 名 学 号 注：本试题共 6 道大题，满分 100 分. 填空题答案抄在答题本上. 一 （45 分）填空题 (多选 ) . 一 （45 分）填空题 (多选 ) . 1已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, -1, 2, 相应的特征向量为 1已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, -1, 2, 相应的特征向量为 1 0 0 1 0 0 T , 0 1 0 , 0 1 0 T , 3 0 1 , 3 0 1 T , 则 , 则 A9 = = . .
2、 = = =99999992000103230110001030120001023011000103012000) 1(00011000103011A2设 2设 A 是是 5 阶矩阵阶矩阵. 若若 A2 = 5 A , 且且 A秩秩 = 2 , 则 则 A 的特征值 的特征值 是是 5与与0 , 对应的特征子空间的维数分别是, 对应的特征子空间的维数分别是 2 与与 3 . . A ( A 5I ) = 0 A 秩秩 + ( A 5I ) 秩秩 5 ; A + ( 5I A ) = 5I 5I 秩秩 = 5 A 秩秩 + ( A 5I ) 秩秩 ; ( A 5I ) 秩秩 = 5 2 = 3.
3、 3设 , 则 3设 , 则 ATA的秩为的秩为 , , ATA 的特征值 的特征值 =A 21001011为为 , , AAT的特征值为的特征值为 , , ( AAT )-1 = = . . 54,1185223,52232=+= =|AI|AAT注意到注意到 AA与与 ATA 有相同的非零特征值有相同的非零特征值. ATA的秩为的秩为 2 , , ATA 的特征值为的特征值为 . 0,4+5450AAT的特征值为的特征值为 , , ( AAT )-1 = = . . 4. 若 4. 若 A, B, C 均为 n 阶方阵, 且 均为 n 阶方阵, 且 A, B 可逆, 则 =可逆, 则 =
4、. . 5. 若5. 若n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A 满足条件 满足条件 A3 = - A , 则则 | | I + A2 | | = = 1 . . A可对角化可对角化, 特征值都是实数且满足特征值都是实数且满足 ( 2+1 ) = 0 = 0 A = 0 . 6. 当6. 当t 时, 二次型 时, 二次型 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 2 t x y + 2 y z 正定 ; 当正定 ; 当t = 2 时, 该二次型的正、负惯性指数分别是 时, 该二次型的正、负惯性指数分别是 2, 1 . . 7. 以下诸矩阵分成几个相似等价类7. 以下诸矩阵分成几个相似等价类 3 , 它们
5、分别是, 它们分别是 A,C,B,D; 以下四个矩阵中又有哪些与以下四个矩阵中又有哪些与A合同合同 A , 哪些与, 哪些与D相抵相抵 A , C , D . . = = = =001050100,100020202,210111012,100020002DCBA注意到注意到 C 可对角化可对角化, | B | = 0 而而 | D | 的一组基底, 并判 的一组基底, 并判 断断 = = 4 3 1 64 3 1 6 T是否在是否在V中; 如果在, 求在此基底下的坐标中; 如果在, 求在此基底下的坐标. 解解: 对矩阵对矩阵 1 1 2 2 3 3 4 4 做初等行变换做初等行变换: 000
6、002100010010101013201021000320101110165313111013201043202由此可知由此可知 1 1 , , 2 2 , , 4 4 构成构成V的一组基的一组基, 且且 = - = - 1 1 - - 2 2 + 2 4 4 . 四.四.（10 分）求欧氏空间（10 分）求欧氏空间R4 中一点中一点 0 0 0 10 0 0 1 T到线性子空间 到线性子空间 V = 中诸点的最短距离. 这里 中诸点的最短距离. 这里 1 1 = = 1 1 0 0 1 1 0 0 T , , 2 2 = = 1 0 1 1 1 0 1 1 T. 解: 记解: 记 3 3
7、= = 0 0 0 1 0 0 1 T. 对. 对 1 1 , , 2 2 , , 3 3做Schmidt 正交化: 做Schmidt 正交化: 令令1 1 = = 1 1 , ,2211210011211101),(),( =1 1112 22,32115122111021000),(),(),(),(= =2 2223 1 1113 33于是于是3 3的顶点到的顶点到V的最短距离为 的最短距离为 .515|=3五.五.（18 分）设二次型 （18 分）设二次型 f = x12 + x32 + x32 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 . (1) 将 (1) 将 f
8、 写成写成 X TA X的形式的形式, 并求并求A的特征值与特征向量; 的特征值与特征向量; (2) 求正交矩阵(2) 求正交矩阵C及对角矩阵D及对角矩阵D , 使得 使得A = C D C T . (3) 求函数 (3) 求函数 f ( ( x1 , x2 , x3 ) 在单位球面在单位球面 x12 + x22 + x32 = 1 上取到的上取到的 最大最大、最小值最小值, 并确定在何处取到并确定在何处取到. 解解: (1) (1) =321321TAXXf xxxxxx 122212221)5()1()54)(1(3241)1(10023224111021222112221222122+=
9、+=+=+= += =|AI|A 的特征值为 的特征值为 = - 1 (二重二重), 5 . 对 对 = -1 解齐次方程组解齐次方程组 A X = - X : 000000111222222222通解为通解为x1 = - - x2 - - x3 , x2 、x3为自由变量为自由变量. 写成向量形式写成向量形式 + = = 101011323232321 xxxxxxxxx于是于是1 1 = -= -1 2 0 T , , 2 2 = -= -1 0 1 T 构成构成 = - -1 特征子空间的一组基特征子空间的一组基. 对 对 = 5 解齐次方程组解齐次方程组 A X = 5 X : 000
10、110101000110211422242224通解为 通解为 x1 = x3 , x2 = x3 , x3为自由变量为自由变量. 向量形式向量形式: = = 1113333321 x xxxxxx于是于是3 3 = = 1 1 1 T构成构成 = 5 特征子空间的一组基特征子空间的一组基. (2) 将(2) 将1 1 = -= -1 1 0 T , , 2 2 = -= -1 0 1 T正交化: 正交化: 令令1 1 = = 1 1 , = =2112101121101),(),(1 1112 22 再单位化:再单位化: = =21161|1,01121|12 221 11 将将3 3 =
11、= 1 1 1 T 也单位化: 也单位化: .11131 =3 1 1 , 2 , 3 构成构成R3 的标准正交基的标准正交基, C = 1 1 2 3 为正交矩阵为正交矩阵, 且 且 .511 =T 3T 2T 1321TCDCA(3) 做正交替换 X = C Y , (3) 做正交替换 X = C Y , f = X TA X = Y T C TA C Y = C Y = Y T D Y = Y = y12 y22 + 5 y32 . 由于C正交, 由于C正交, x12 + x22 + x32 = 1 当且仅当当且仅当 y12 + y22 + y32 = 1. 当当 y12 + y22 +
12、 y32 = 1 时时, f = = y12 y22 + 5y32 = = 1( 1( y12 + y22 + y32 ) + 6) + 6 y32 1 1 等号成立等号成立当且仅当当且仅当y3 = 0, 即即X取取 = -1 特征子空间特征子空间 中的单位向量时成立中的单位向量时成立. 类似的类似的, 当当 y12 + y22 + y32 = 1 时时, f = = y12 y22 + 5 y32 = 5= 5 ( ( y12 + y22 + y32 ) ) 6 y12 6 y22 5 , 等号成立等号成立当且仅当当且仅当y1 = y2= 0, 即即X取取 = 5 特征子空间中的特征子空间中的 单位向量单位向量 3时成立时成立. 六六（7 分）设 2 阶方阵（7 分）设 2 阶方阵 A 在复数域上有两个相同特征值 , 且 在复数域上有两个相同特征值 , 且 A I . 证明: 证明: A 与矩阵 相似. 与
