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1、1高三数学附加高三数学附加题题集中集中训练训练（ （3） ）1、已知斜三棱柱111ABCA B C的底面是直角三角形，90ACBo，侧棱与底面所成角为，点1B在底面上的射影D落在BC上（1）求证：AC 平面11BBC C；（2）若1cos3，且当13ACBCAA时，求二面角1CABC的大小【 【解析解析】 】（1）点1B在底面上的射影D落在BC上，1B D 平面ABC，AC 平面ABC，1B DAC又90ACBoBCAC，1B DBCDI，AC 平面11BBC C（2）以C为原点，CA为轴，CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴，x建立空间直角坐标系，则(3,0,0)A，(0,3,0
2、)B，1(0, 1,2 2)C，( 3,3,0)AB uu u r ，1(0, 4,2 2)BC uuu r 显然，平面ABC的法向量(0,0,1)n 设平面1ABC的法向量为( , , )mx y z，由100m ABm BCuu u ruuu r，即33042 20xyyz，( 2, 2,2)m ，2cos,2n m，,45n m，二面角1CABC的大小是452、如图，在三棱锥ABCD中，90ABCBCDCDA ，、，设顶点A在底面6 3AC 6BCCDBCD上的射影为E（）求证：CEBD；（）设点G在棱AC上，且2CGGA，试求二面角CEGD的余弦值 【 【解析解析】 】证明：（I）方法
3、一：由AE 平面BCD得AE CD，又AD CD，则CD 平面AED，故CDDE，同理可得CBBE，则BCDE为矩形，又BCCD，则BCDE为正方形，故CEBD 方法二：由已知可得6 2ABBDAD，设O为BD的中点，则,AOBD COBD，则BD 平面AOC，AGEDCB2故平面BCD 平面AOC，则顶点A在底面BCD上的射影E必在OC，故CEBD（II）方法一:由（I）的证明过程知OD 平面AEC，过O作OFEG，垂足为F，则易证得DFEG，故OFD即为二面角CEGD的平面角，由已知可得6AE ，则2AEAG AC，故EGAC，则2 32CGOF ，又3 2OD ，则30DF ，故10co
4、s5OFD，即二面角CEGD的余弦值为10 5方法二：由（I）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，则、，可得(2,2,4)G，(0,0,0)E(0,6,0)D(0,0,6)A(6,0,0)B(6,6,0)C则(0,6,0),EDEGuuu ruuu r (2,2,4)，易知平面CEG的一个法向量为( 6,6,0)BD uuu r ，设平面DEG的一个法向量为( , ,1)nx yr ，则由00n EDn EGr uuu rr uuu r得( 2,0,1)n r ，则10cos,5BD nBD n BDn uuu r ruuu r r uuu rr，即二面角CEGD的余弦值为10 53
5、、如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，、PABCDABCD,BAAD CDAD2CDADAB底面，是的中点PA ABCDEPC（1）求证：平面；BEPAD（2）若平面，BE PCD求异面直线与所成角的余弦值；PDBC求二面角的余弦值EBDC【 【解析解析】 】设，建立如图的空间坐标系，、，、,ABa PAb(0,0,0)A( ,0,0)B a(0,0, )Pb(2 ,2 ,0)Caa、(0,2 ,0)Da( , , )2bE a a（1），所以， 平面，平面(0, , )2bBEauuu r(0,2 ,0),(0,0, )ADaAPbuuu ruuu r11 22BEADAPuuu ruuu
6、 ruuu rBE PADBE；PAD（2）平面，即、，即；BE QPCDBEPC0BE PCuuu r uuu r(2 ,2 ,)PCaabuuu r2 2202bBE PCauuu v uuu v2ba，所以异面直线与所成角)0 ,2 ,(),2,2 , 0(aaBCaaPD2410cos,52 25aPD BCaauuu r uuu rPDBC3的余弦值为； 10 5平面和平面中，、，所以平面的一个法向量BDEBDC(0, , ),(,2 ,0)BEa a BDaa uuu ruuu r( ,2 ,0)BCaauuu rBDE为，平面的一个法向量为，所以二面角的余弦1(2,1, 1)n
7、u rBDC2(0,0,1)n u u r121cos,6n nu r u u rEBDC值为6 64、如图，在多面体中，上、下两个底面和互相平行，且都是正方形，底面1111ABCDABC DABCD1111ABC D1DD ，ABCD111222ABABDDa（）求异面直线与所成的角的余弦值；1AB1DD（）已知是的中点，求证：平面；FAD1FB 11BCC B（）在（）条件下，求二面角的余弦值1FCCB【 【解析解析】 】解法 ：（）过，且，则为异面直线与所成的111/AADD11AADD1B AP1AB1DD角113cos33B AP（）为的中点,平面，FADBC 11FB A从而， 1
8、BCFB222222 11224FBGBaaaFG平面 1FB 11BCC B（）由平面，得又由（2）平面，由三垂线定理得，是11BC 11CDDC11BC 1CC1FB 11BCC B1FC 1CC11FC B二面角的平面角，即二面角1FCCB222 11113FCFBBCa11 11 113cos33BCFC BFB的余弦值为 1FCCB3 3解法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系2D1,DA DC DD, ,x y z（）， 1(, , )ABa a a uuu u r1(0,0, )DDauuuu r113cos,3AB DDuuu u r uuuu r（），平面1(, )
9、BBaa a uuu r( 2 ,0,0)BCa uuu r1( , , )FBa a auuu r 1110 0FBBB FBBCuuu r uuu r uuu r uuu r1FB 11BCC B1D1C1BB1ADCA1D1C1BB1ADCAFPG4（）由（2）知，为平面的一个法向量设为平面的一个法向量，则，1FBuuu r11BCC B111( ,)nx y zr1FCC1(0, )CCa auuu u r由，令，(,2 ,0)FCaa uuu r 10, 0.n CC n FCr uuu u r r uuu r11110 20ayaz axay1111,2,1yxz(2,1,1)n
10、r，即二面角的余弦值为13cos,3FB nuuu r r1FCCB3 3 5、如图，平面，异面直线与直线 PC ABCPMCB120ACB1PMAC2BC AMPC所成的角为60（）求二面角大小的正切值；MACB（）求三棱锥的体积PACM【 【解析解析】 】方法一：（）取的中点，连结，由已知，BCNMN，则，所以平面，过点作，PM/CNMN/PCMN ABCNNHAC交的延长线于，连结，由三垂线定理知，ACHHMMHAC所以为二面角的平面角，连结，在中，由余弦定理得MHNMACBANACN.2202cos1203ANACCNAC CN由已知，在中，在中，、60AMNRt AMN1tan60A
11、NMN oRt CHN3sin602NHCNo在中，故二面角正切值是；Rt MNH12 3tan33 2MNMHNNHMACB332（）因为四边形为正方形，平面，则PCNMMN ABC. 0113sin1203212P MACA PCMA MNCMACNVVVVAC CNMN方法二：（）在平面内，过点作的垂线，按如图所示建立空间直ABCCCB角坐标系，设点，由已知可得点，Cxyz00(0,0,)(0)Pzz 31(,0)22A，则。因为直线与0(0,1,)Mz003 3(,),(0,0,)22AMzCPz uuuu ruu u rAM直线所成的角为，则，PC600| |cos60AM CPAM
12、CPuuuu r uu u ruuuu ruu u r即，解得，从而，22 000132zzz01z 31(0,1,1),(,0)22CMCAuuu u ruu u r设平面的一个法向量为，则，即，取，则ACM111( ,)nx y zv00n CMn CAuuu u ruu u r1111031022yzxy11x ，又为平面的一个法向量，设向量与的夹角为，则(1, 3,3)n v(0,0,1)m u vABCmu vnv，从而，显然，二面角的平面角为锐角，故二面3cos|7m n m n 72sin2 3tan3 MACBPCBMAPCBNMHAPCBxMy Ay5角的正切值是；MACB3
13、32（）因为为平面的一个法向量，则点到平面的距离(1,0,0)a vPCM31(,0)22CA uu u rAPCM、又，则3 |2CA a ha uu u r1PCPM111331 1326212P MACA PCMVVPC PM h 6、如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平EFABCDBCCDEFACOPANC面，且，是线段上一动点ABCD4PAAB2NC MPA（）求证：平面平面；PAC NEF（）若平面，试求的值；/PCMEF:PM MA（）当是中点时，求二面角的余弦值MPAMEFN【 【解析解析】 】（）连结，平面，平面，又BDPA ABCDBD ABCDPAB
14、D，平面，又，分别是、的中点，平BDACACPAAIBD PACEFBCCD/EFBDEF 面，又平面，平面平面；PACEF NEFPAC NEF（）建立如图所示的直角坐标系，则，(0,0,4)P(4,4,0)C(4,2,0)E(2,4,0)F(4,4, 4)PC uuu r，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以( 2,2,0)EF uuu rM(0,0,)mMEF( , , )nx y zr(4,2,)MEmuuu r，即，令，则，故，平面，00n MEn EFr uuu rr uuu r420220xymzxy 1x 1y 6zm6(1,1,)nmr/PCMEF，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点，0PC nuuu r r24440m3m 3AM MPAP故；:1:3PM MA （），则，设平面的法向量为，(4,4,2)N(0,2,2)EN uuu rNEF( , , )mx y zu r则即，令，则，00m ENm EFu r uuu ru r uuu r220 220yz xy 1x 1y 1
