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1、2017 天津卷（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，则1,2,6,2,4,| 15ABCxx R()ABC UI（A） （B）（C）（D）21,2,41,2,4,6| 15xx R（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为, x y20,220,0,3,xyxyxy zxy（A） （B）1（C） （D）32 33 2（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为 24，则输出的值为NN（A）0 （B）1（C）2（D）3（4）设，则“”是“”的R|12121sin2（A）充分而
2、不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和22221(0,0)xyababF2F两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(0,4)P（A） （B）（C）（D）22 144xy22 188xy22 148xy22 184xy（6）已知奇函数在 R 上是增函数，.若，( )f x( )( )g xxf x2( log 5.1)ag0.8(2)bg，则 a，b，c 的大小关系为(3)cg（A）（B）（C）（D）abccbabacbca（7）设函数，其中，.若，( )2sin()f xxxR0| 5()28f，且
3、的最小正周期大于，则()08f( )f x2（A），（B），（C），（D）2 3122 312 1 324 ，1 324（8）已知函数设，若关于 x 的不等式在 R 上恒23,1, ( )2,1.xxx f xxxxaR( ) |2xf xa成立，则 a 的取值范围是（A）（B）（C）（D）47,21647 39,16 16 2 3,239 2 3,16第第卷卷注意事项：注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共本卷共 12 小题，共小题，共 110 分。分。二二. 填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题
4、 5 分，共分，共 30 分分.（9）已知，i 为虚数单位，若为实数，则 a 的值为 .aRi 2ia （10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .（11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为4cos() 106 2sin_.（12）若，则的最小值为_., a bR0ab 4441ab ab（13）在中，.若，ABC60A 3AB 2AC 2BDDCuuu ruuu r，且，则的值为_.()AEACABRuuu ruuu ruuu r4AD AE uuu r uuu r（14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且
5、至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）三三. 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分 13 分）在中，内角所对的边分别为.已知，.ABC, ,A B C, ,a b cab5,6ac3sin5B （）求和的值；bsin A（）求的值.sin(2)4A16.（本小题满分 13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.1 1 1,2 3 4（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机
6、变量的分布列和数学期XX望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.（17） （本小题满分（本小题满分 13 分）分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，.点 D，E，N 分别为棱90BACPA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 C-EM-N 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH 的7 21长.18.（本小题满分 13 分）已知为等差数列，前 n 项和为，是首项为 2 的等比数列，且公比大na()nS
7、nNnb于 0，,，.2312bb3412baa11411Sb（）求和的通项公式；nanb（）求数列的前 n 项和.221nna b()nN（19） （本小题满分 14 分）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线22221(0)xyababFA1 2A的焦点，到抛物线的准线 的距离为.22(0)ypx pFl1 2（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点） ，直线lPQxAPBBA与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.BQxDAPD6 2AP（20） （本小题满分（本小题满分 14 分）分）设，已知定义在 R 上的函数在区间内有
8、一个aZ432( )2336f xxxxxa(1,2)零点，为的导函数.0x( )g x( )f x（）求的单调区间；( )g x（）设，函数，求证：001,)(,2mxxU0( )( )()( )h xg x mxf m；0( ) ()0h m h x（）求证：存在大于 0 的常数，使得对于任意的正整数，且 A, p q001,)(,2,pxxqU满足.041|pxqAq天津理数答案天津理数答案1-4BDCA 5-8BCAA 9.2；10. ；9 211.2；12.4 ；13. ；3 1114.1080 15.（）解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦ABCab3sin5B 4cos5B
9、定理，有，所以.2222cos13bacacB13b 由正弦定理,得.sinsinab ABsin3 13sin13aBAb所以，的值为，的值为.b13sin A3 13 13（）解：由（）及，得，所以，ac2 13cos13A 12sin22sincos13AAA.故.25cos212sin13AA 7 2sin(2)sin2 coscos2 sin44426AAA16.（）解：随机变量的所有可能取值为 0,1,2,3.X，1111(0)(1) (1) (1)2344P X ，11111111111(1)(1) (1)(1)(1)(1) (1)23423423424P X ，11111111
10、11(2)(1)(1)(1)2342342344P X .1111(3)23424P X 所以，随机变量的分布列为XX0123P1 411 241 41 24随机变量的数学期望.X1111113()012342442412E X （）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求YZ事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0) (1)(1) (0)P YZP YZP YZP YP ZP YP Z.11111111 42424448所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为.11 48（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量
11、解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13 分.如图，以 A 为原点，分别以，方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角ABuuu r ACuuu rAPuuu r坐标系.依题意可得A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，4，0） ，P（0，0，4） ，D（0，0，2） ，E（0，2，2） ，M（0，0，1） ，N（1，2，0）.（）证明：=（0，2，0） ，=（2，0，）.设，为平面 BDE 的法向DEuuu rDBuuu r2( , , )x y zn量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，） ，可得00DEDBuuu ruuu rnn20
12、 220y xz1z (1,0,1)nMNu u u u r1.0MN u u u u rn因为平面 BDE，所以 MN/平面 BDE.MN （）解：易知为平面 CEM 的一个法向量.设为平面 EMN 的法向量，1(1,0,0)n2( , , )x y zn则，因为，所以.不妨设，2200EMMNuuuu ruuu u rnn(0, 2, 1)EM uuuu r(1,2, 1)MN uuu u r2020yzxyz 1y 可得.2( 4,1, 2) n因此有，于是.12 12 124cos,|21 nnn n|nn12105sin,21n n所以，二面角 CEMN 的正弦值为.105 21（）
13、解：依题意，设 AH=h（） ，则 H（0，0，h） ，进而可得，04h( 1, 2, )NHh uuu u r.由已知，得，整理得( 2,2,2)BE uuu r2|22|7|cos,|21|52 3NH BEhNH BENHBEh uuu u r uuu ruuu u r uuu ruuu u ruuu r，解得，或.2102180hh8 5h 1 2h 所以，线段 AH 的长为或.8 51 218.【解析】 （I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.nadnbq由已知，得，而，所以.2312bb2 1()12b qq12b 260qq又因为，解得.所以，.0q 2q 2nnb 由，可得
14、 .3412baa138da由，可得 ，114=11Sb1516ad联立，解得，由此可得.11a 3d 32nan所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.na32nannb2nnb （II）解：设数列的前项和为，221nna bnnT由，有，262nan1 212 4nnb 221(31) 4nnna bn故，232 45 48 4(31) 4nnTn L，234142 45 48 4(34) 4(31) 4nn nTnn L上述两式相减，得23132 43 43 43 4(31) 4nn nTn L1112 (1 4 )4(31) 41 4 (32) 48.n nnnn 得.1328433n nnT所以，数列的前项和为.221nna bn1328433nn19.（）解：设的坐标为.依题意，解得，F(,0)c1 2c a2pa1 2ac1a ，于是.1 2c 2p 2223 4bac所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.2 2
