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1、几何画板在圆锥曲线习题中的应用几何画板在圆锥曲线习题中的应用吕世琼吕世琼数信学院 数学与应用数学 10290133【摘要】随着信息技术的高速发展，以及科学技术在教育领域中越来越广泛的应用，教师从事教育活动的手段有了根本的改观，作为新时代的数学老师，熟练掌握几何画板并将其应用于数学教学过程中是非常必要的。本文就几何画板在圆锥曲线习题教学中做了一个简单的研究，对于部分有关的圆锥曲线的习题进行分析研究，主要是利用几何画板进行辅助解决，提高习题教学效率，也为中学教师提供参考。【关键词】几何画板 圆锥曲线 习题教学在圆锥曲线方程这章中，一些与数形结合有关的题目等比较抽象，学生难以理解，且运用代数方法运算
2、非常复杂，使用几何画板进行辅助教学，能够拓宽学生的思维，通过几何画板的画图、计算等功能，给学生留下更为深刻的印象，使学生摆脱枯燥的数学。这样既激发了学生的兴趣，又大大提高了学习效率。本文将从圆锥曲线轨迹问题、最值问题进行研究。1 利用几何画板探究轨迹问题圆锥曲线轨迹问题是整个圆锥曲线章节的重点也是难点，在高考中所占比值也相对较大，解决这类问题的关键点在于抓住不变量，仅仅通过代数运算有时很难发现其中的不变量，借助几何画板精确的画图、演示、计算功能有助于解决这方面的问题，大大提高教学效率。例例 1 1 圆的半径为定长，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，线ORAOP段的垂直平分线 和半径相交于点，当
3、点在圆上运动时，点的轨迹APlOPQPQ是什么？为什么？当定点在圆外时，点的轨迹是什么？为什么？AQ【制作目标】动态可视化的观察、猜想、探究、发现图形中的不变量。【方法步骤】（1）构造点，线段，以为圆心为半径画圆。OBCOBC（2）在圆内任取一点，圆上任取一点，构造线段、。OAPOPAP（3）构造线段的垂直平分线 交线段于，连接.APlOPQAQ（4）追踪的轨迹，如图（1） 。Q（5）将点移动到圆外，观察轨迹，如图（2） 。A图（1）图（2)设计意图：通过几何画板的直观表现，让学生通过对图像的观察分析抓住图中的不变量。为解题指明了方向，避免盲目的利用代数方法进行运算。当点在A圆内时，通过追踪点
4、的轨迹发现轨迹为椭圆。解题的关键在于抓住不变量+QOQ=+=.,即轨迹是以两点为焦点，长轴长为的椭圆。当点QPOQAQOPRAOR在圆外时，通过追踪的轨迹发现轨迹为双曲线。通过对图中各个量的观察与AQ分析，只要引导学生发现题中的不变量。即解题的关键在于抓住=OQPQ=.即轨迹为以两点为焦点，长轴长为的双曲线。OQAQOPRAOR例例 2 2 如图，轴，当点 M 在的延长线上，且,当点在圆上xDP DP23DPDMP运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的情况，与高中数学选修 2-1 教材页M41P例 2 相比，你有什么发现？【制作目标】动态可视化的观察、猜想以及推广到一般情况。【方法步骤】（1）选
5、用蚂蚁坐标系，绘制点，构造线段，度量其长度，改标签为)0 , 0(AB，以原点为中心， 半径构造圆。rr（2）在圆上任取一点，过点作轴的垂线，交轴于点。PPxxD（3）构造线段，度量其长度，改标签为， 分别度量点的横纵坐标EFtP，计算的值。ppyx ,typ.（4）绘制点，。).(,tyxMpp).,(tyxNpp（5）追踪点的轨迹。NM,图（3）设计意图：本题与教材例 2 非常相似，不同点在于的比值不同，由几何DPDM画板可知，两题的结论相同，轨迹都为椭圆，如图（3） 。这时可以提出猜想，无论比值如何变，轨迹都为椭圆。如何验证这个猜想呢？这时可以改变的长度，EF即的值就可以实现比值的改变。
6、通过改变的长度我们可以不难发现，点DPDMEFt的轨迹都为椭圆，当 的值小于 1 时，轨迹为焦点在轴上，长轴长等于NM,txa2圆直径的椭圆。当 的值等于 1 时，轨迹就是圆。当 的值大于 1 时，轨迹为焦otot点在轴上，短轴长等于圆直径的椭圆。由此可见椭圆的轨迹方程由圆的半yob2o径与的比值 决定。那椭圆的轨迹方程与圆的半径与的比值 又有怎DPDMtoDPDMt样特殊的关系呢？经由前面的讨论我们已经知道，当 的值小于 1 时，椭圆的长半t轴长= ，那么只需要确定的值就可以确定椭圆的轨迹方程。当点在轴上arbMy时，的长即为椭圆的短半轴长，即。同理，当 大于 1 时，有OMtrb.tabt
7、。tba综上讨论，对于这一类型的题，点为以原点为中心 为半径的某圆上的一点，Pr轴与轴交于点，点 M 在的延长线上，且,当点 P 在圆上运xDP xDDP23DPDM动时，求点的轨迹方程。M当椭圆的轨迹方程为。1t 12222 rx rty当时，椭圆的轨迹方程为1t 12222 ry rtx例例 3 3 .求定点到定直线距离之比是的点的轨迹方程。)0 ,(cF)0( ccaxl2 :acM【制作目标】动态可视化的观察、猜想、探究点的轨迹与之间的关系。Mca、【方法步骤】（1）构造线段、，分别度量其长度，改标签为、 、。计ABCDEFacd算、的值。accad.（2）新建函数，构造点。cax2
8、)0 ,(cF（3）以点为圆心，为半径构造圆，新建函数、FdFcadcax.2 。cadcax.2 （4）构造函数与函数分别与圆的交点并追踪其轨cadcax.2 cadcax.2 F迹。图（4）设计意图：构造到定点距离与到定直线距离之比等于某个常数的点的轨迹，在构造过程中，通过几何画板的直观性，我们不难发现函数的图像与cadcax.2 函数的图像与圆的交点到函数的距离为，交点在圆上，cadcax.2 Fcax2 cad.所以交点到定点的距离为半径。这样就实现了到定点的距离与到定直线的距Fd离之比为，即离心率 。通过改变的长度，即的值就可以观察到满足条件aceEFd的点所形成的轨迹。通过改变或
9、的值则轨迹的形状有所变化。当的值小于 1acac时，轨迹为椭圆，当的值大于 1 时，轨迹为双曲线。当的值等于 1 时，轨迹ac ac为一条抛物线，如图（4）。这样不仅融合和了几个习题，还统一了圆锥曲线的定义。通过几何画板的演示，我们发现轨迹的形状是由，即离心率 的值确定的，ace但是几何画板只能直观的演示，给解题指明方向或者是对结论的演示。对于求轨迹的方程不能给予严格的证明，这时就需要利用代数的方法进行严格证明。到定点的距离与到定直线的距离之比为，化简得到。acxcaycx 222)(122222 cay ax假设，当时，再次化简得到，即双曲线的标准方程。222bca1ac12222 by a
10、x当时，化简得到，即椭圆的标准方程。当时，化简得到，1ac12222 by ax1ac0y为什么不是抛物线的方程呢？为什么会出现这种情况呢？抛物线的定义是到定点的距离和到定直线 （ 不经过点）距离相等的点的轨迹， 不经过点，因FllFlF此到定点的距离与到定直线的距离之比应写为，化简得到acxcaycx 222)(，即抛物线的标准方程。cxy42例例 4 4 从双曲线上一点 A 引直线的垂线，垂足为，求线段中点bkxyBAB的轨迹方程。如果曲线为椭圆，轨迹又有怎样的变化？C【制作目标】动态可视化的观察、猜想提供解题思路。【方法步骤】（1）构造线段、 度量其距离并改标签为 、 。ABCDce（2
11、）绘制点、。)0 ,(1cF)0 ,(2cF （3）选择自定义工具中圆锥曲线双曲线/椭圆（焦点+离心率），以、A)0 ,(1cF为焦点， 为离心率构造曲线。)0 ,(2cF e（4）构造线段、度量其长度并改标签为、,计算的值。、EFGHKBkb（5）绘制点，过两点构造直线。)0 ,(), 0(kbb、（6）在曲线上任取一点，过点作直线的垂线，垂足为，构CAAbkxyB造线段的中点。ABC（7）选中点与点，构造轨迹。CA（8）改变 的大小，观察轨迹的变化。e设计意图：由于几何画板的缺陷，不能直接构造某点到函数图上的垂线，因此采用通过直线与坐标轴的交点绘制直线。通过几何画板的直观性观察bkxy轨迹
12、的变化，当曲线为双曲线时，中点 C 的轨迹为双曲线，如图（5）。但几何画板只为题目提供一个思路或者是结果的验证。具体求出轨迹的方程还需要结合代数的方法进行解决。设中点的坐标为，点 A 的坐标为，由中点坐标公),(yx),(11yx式可知 B 点的坐标为，代入方程中，得)22(1, 1yyxxbkxy 又 AB 垂直于直线，故，由解bxxkyy)2(211bkxykxxyy111方程组得的值，再将其带入双曲线的标准方程中，得到关于的方程，即11, yxyx,中点的轨迹方程。当曲线为椭圆时，通过几何画板的直观演示可知，中点的CC轨迹方程为椭圆，讨论方法与双曲线方法一致，可由学生自己讨论。并让学生下
13、来讨论，如果曲线为抛物线，中点的轨迹是否为抛物线，并验证结论。在此题的解题过程中即体现了数形结合的思想方法，也培养了学生一定的探究能力。图（5）圆锥曲线中关于求轨迹问题在整个圆锥曲线章节所占比重比较大，也是高考的重点也是热点，因此掌握好轨迹问题的解决方法非常重要。在圆锥曲线这章节中求轨迹问题绝大多数轨迹是圆锥曲线，即椭圆、双曲线或抛物线，有时候也会是圆。这时就必须把握好各种曲线的定义以及性质，方便在解题前进行判断，为解题指明方向，避免盲目的计算。通过以上的几个例题，我们可以发现比较简单的求轨迹问题可以直接通过圆锥曲线定义来判断，进而进行求解。这时的关键在于找到题目中的不变量。其次是通过圆锥曲线
14、的第二定义进行判断，通常是与比值有关。这时就需要紧紧抓住圆锥曲线的第二定义，若比值没有规定范围，则还要进行分类讨论。再则就是各种知识点混合，这就需要学生有将强的分析能力，有时候还会涉及到坐标。但无论知识点再复杂，必须把握住圆锥曲线的第一第二定义，这是解题的关键。2 利用几何画板探究圆锥曲线最值问题圆锥曲线中最值的探索问题在高考试题中出现频率很大，且几乎都是寻求解决方法，复杂的代数运算往往会让不少同学望而却步。几何画板作为优秀的数学教学软件，同时也是我们研究最值问题的有力武器。它使得最值问题具体化、动态化、形象化，能够更直观有效的解决问题。下面结合集体案例给出借助几何画板探究圆锥曲线中最值问题的
15、构造过程及其设计流程。例例 5 5 已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支F12222 by ax),(yxAP上动点，则的最小值为多少？ 若圆锥曲线为椭圆或者双曲线PAPF 12222 by ax，是否有最值，最值又为多少？ . pxy22PAPF 【制作目标】动态可视化的观察、猜想、通过转化观察出取得最值时点的特殊位置。【方法步骤】（1）构造线段、 度量其距离并改标签为 、 。ABCDce（2）绘制点、。)0 ,(1cF)0 ,(2cF （3）选择自定义工具中圆锥曲线 A 双曲线/椭圆（焦点+离心率），以、)0 ,(1cF为焦点， 为离心率构造曲线。)0 ,(2cF e（4）任取双曲线
16、外一点,曲线右支上一点，连接、，并度APPA2PF1PF量其长度。计算的值，移动点 观察随移动的值。2PFPAPP2PFPA图（6）设计意图：通过几何画板的直观性，通过移动点 P 可以直观的观察出的最小值，但是通过几何画板所得到的最小值并不能作为我们的结论，2PFPA它存在一定的误差，且没有严格的说服理由。但他能为我们的解题提供可视化的猜想。当处于最小值时，点的位置有什么特殊吗？通过直观的观察，2PFPAP当点 A 在双曲线外部时，当处于最小值时，点、位于通一条直2PFPAP1FA线上，即图（6）所示。因此我们猜想当点、共线时，的值最小。P1FA2PFPA如何证明我们的猜想呢？我们要紧紧抓住三点共线，三点共线可以转化为代数关系的值最小，最终求得是的最小值，我们可以再次转化，1PFPA 2PFPA=2a+，因此当点、2PFPA 112PF
