滤棒检测中圆度误差评定方法的选择

《滤棒检测中圆度误差评定方法的选择》由会员分享，可在线阅读，更多相关《滤棒检测中圆度误差评定方法的选择（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、滤棒检测中圆度误差评定方法的选择 滤棒检测中圆度误差评定方法的选择 邓春宁 （福建龙岩卷烟厂 龙岩 364000） 摘 要 本文对滤棒圆度误差评定进行了研究， 重点研究了圆度误差评定的最小二乘方法， 指出只有满足 “小误差假设”和“小偏差假设” ，最小二乘通用算法的评定结果才是严格意义上最小二乘解。针对这一结论，提出了一种由最小二乘迭代算法得到的精确的最小二乘解。 关键词 滤棒检测 圆度误差 误差评定方法 0 引言 形状误差测量就是将被测形状与理想形状进行比较，从而确定并用数值描述实际形状与 理想形状的差异。每一个形状误差参数的确定过程包括测量和评定两个阶段。测量阶段是根 据被测形状误差项的定

2、义，获得统一坐标系下采样面、采样线和采样点上的轮廓坐标值；评 定阶段则是根据定义对统一的坐标值进行处理，求得具体的形状误差值。圆度误差作为一种 形状误差是卷烟滤棒生产过程中一个重要的检测指标，其误差评定可以采用多种方法，实质 是一个非线性最优化问题。 1 圆度误差的几何特性 根据国际标准 ISO 1101 和国标 GB 1850 的定义， 圆度公差带是指在半径差为公差t的两 同心圆之间的区域。因此，圆度误差的量值大小反映在圆周的半径方向上，即误差具有径向 性。圆度误差的第二个几何特性是圆度误差变化具有“周期性” 。因为圆形零件横截面的实 际轮廓形状是一个复杂的封闭曲线轮廓，轮廓上各点径向误差的

3、大小不同，而且在圆周的一圈上以2为周期连续变化。 圆度误差的周期性可以用富氏级数来表示，在极坐标系中： )sin(sincos)(10 0110=+=+=iii ii iaicribiar （1） 式中，)(为极径，0r为富氏级数常量，11,ba为富氏级数的系数，22 iiibac+=， iiibaarctga=。 式（1）的实际意义可以看成由一个平均半径为0r的圆和若干个周期不同的形状圆误差波形迭加而成。1=i，级数展开中的sincos11ba+项决定了平均半径圆，偏心量是2;2 12 11=+=ibace，级数展开式中的2sin2cos22ba+项反映在极坐标系中是一个椭圆；3=i，级数展

4、开式中3sin3cos33ba+项反映在极坐标系中是一个三棱圆。依次类推，n次谐波，反映在极坐标系中是一个n边棱圆。 根据国标 GB 1850 定义，偏心影响、表面粗糙度和表面波纹度（高次谐波分量）的影响均应从)(中剔除，所以圆度误差函数 （2） 通常n取值为 79。 由圆度误差的几何特性可知，圆度误差的评定关键在于如何根据最小条件或最小条件的 近似来确定理想圆的圆心位置。 2 圆度误差的评定方法 2.1 圆度误差评定方法种类 圆度误差评定主要有 4 种方法： 最小包容区域法（亦称最小半径法） 以包含实际轮廓、且半径差为最小的两同心 圆的圆心为理想圆心，这样确定的理想圆心满足最小条件。最小条件

5、的判定法则是：两个同 心包容圆应与实际圆的轮廓分别至少有两个切点，4 个切点相间分布。 最小外接圆法 最小外接圆法用实际轮廓的最小外接圆圆心来近似理想圆圆心。最 小外接圆的判定法则为：在外接圆上至少有 3 点与外接圆相切，且组成锐角三角形，或者只 存在两点与外接圆相切， 且两点的连线过圆心。 这两个法则称为锐角三角形法则和对径法则。 最大内接圆法 最大内接圆法用实际轮廓的最大内接圆圆心来近似理想圆圆心，最 大内接圆的判定法则与最小外接圆相似。 最小二乘法 最小二乘法用实际轮廓的最小二乘圆圆心近似理想圆圆心。 上述 4 种方法只有最小包容区域法严格符合最小条件，形状误差评定结果精度最高。但 是最

6、小包容区域中心的求解过程实质是一个复杂的、带约束条件的非线性最优化问题，这类 问题的求解通常采用两种方法：一是在一定的假设前提下，利用线性评定模型并结合单纯形 法、置换法求解；二是线性逼近、迭代求解。前者存在模型上的误差，评定精度受到限制； 后者求解过程复杂，计算量大，而且还存在解的收敛性和稳定性问题，应用受到一定的限制。 最小二乘法虽然是一种近似方法，但其评定结果优于最小外接圆和最大内接圆法，非常接近 于最小包容区域法（评定误差通常小于 5%） ，广泛应用于工程实践。最小外接圆法和最大内 接圆法相当于与轴、孔实际装配时的情况，具有实际工程意义。通常最小外接圆法用于评定 轴类零件的圆度误差，最

7、大内接圆法用于评定孔类零件的圆度误差。 2.1 最小二乘法 给定任意的圆度测量数据及测量点的直角坐标), 2 , 1)(Niyxii?=，可以得到如下误差方程 ), 2 , 1()()(2 22 1NieRuyuxiii?=+=+ （3） )sincos()(1 2ibiarnii+= =运用最小二乘原理，令准则函数 =+=NiaRuyuxJ12 212 11)()(（4） 使minaJ的12( ,)u u及 R 为最小二乘圆的圆心及半径。 由于ie为12( ,)u u及 R 的非线性函数，不易直接求解，故将准则函数aJ改为如下准则函数： 2122 212 11)()( =+=NibRuyux

8、J （5） 令2 22 12 3uuRu=，则式(5)可写为如下形式： =+=NiiiiibyxuuyuxJ1222 1321)(22 （6） 这样参数（21,uu）和 R 的估计问题可由线性最小二乘法直接求解。这种算法称为圆度误差评定的最小二乘通用算法，被人们普遍采用。由于bJ有别于aJ，它所得到的理想圆不是严格的最小二乘圆。 由式（3） 、 （5）可得 22 22 1212 22 1)()(.)()(RuyuxRuyuxJiiNiiib+=22 22 121)()()2(RuyuxeRiiNii+ =22 22 12112)()(.214RuyuxreRiiNi+ （7） 考虑到ie与 R

9、 相比是微量， +Re Reii 21212 ，bJ等价于如下准则函数： 22 22 1 1)()(.21RuyuxReJiiNii c+=（8） 比较式（4）和（8）可知，通用算法可以看成是对aJ进行加权平均处理后的结果，相应的权值为), 2 , 1(11NiRe?=+。Re1越小，基于aJ和bJ的计算结果越接近。因此，当ie与 R相比是微量时，即满足“小误差假设” ，通用算法是适用的。 圆度误差测量数据通常采用极坐标表示，此时误差方程可表示为 iiiiiiauauRauauR+=2 212 21)cossin(sincos ), 2 , 1(Ni?= （9） 式中，), 2 , 1(Nii

10、?=为残余误差。同样，为了求得圆心坐标21,uu及半径 R，可以极小化如下准则函数： =NiibJ12 212 212 211)cossin(sincos =NiiiiiauauRauauR （10） 显然，i是21uu、及 R 的非线性函数，不易直接求解。为此，定义如下准则函数： 2 2222 2 112(sincos).NNdiiiiiii iiJpRuaua=+（11） 式中，212 12112 1)cossin(2+=auauRp （12） 由式（9）可得 212 212 211)cossin(sincos =+=NiiiiieauauRauauRJ . 22 212 21)cossi

11、n(sincosiiiiiauauRauauR 2 2122 22 1 12)sin2cos2(uaRuaRRuuRiiiiNii+=（13） 令 2 22 12uuRK= （14） 则有 2 21 12)sin2cos2(uaRuaRKRJiiiiNiib=（15） 由式（15）可以进行线性最小乘求解，确定理想圆参数。采用准则函数eJ的最小二乘算法称为极坐标下的圆度误差评定的最小二乘通用算法。 由式（11）可以看出，eJ对dJ进行了加权处理（其权值为ip） ，因此，通过eJ而求得的结果与通过dJ求得的结果两者之间存在一定的偏差，只有当12iuu、 、较小时，即满足“小偏差假设”和“小误差假设

12、” ，权值ip才基本相等，两种算法圆度误差评定结果基本一致。 由以上分析可知， 只有满足 “小误差假设” 和 “小偏差假设” 时， 选用准则函数bJ和eJ的通用算法所得到的圆度误差评定结果才与严格意义上最小二乘结果基本一致。当以上两个 假设不成立时，通用算法结果可能会出现较大偏差。 由于准则函数bJ（aJ）是非线性的，无法直接求解，本文提出一种迭代方法来逼近最小二乘解。 将极坐标下的准则函数bJ改写为以下形式： 21)(21RRNJniiN= =（16） 式中， 2 212 21)cossin(sincosiiiiiauauRauauR+= （17） 定义TRuu21,=为最小二乘圆的圆心坐标

13、和半径，则由式（16）可得到递推公式 2111)( 21)()() 1(+=+kkkkRRkJJk （18） 不失一般性，令k表示极小化kJ而得到的圆心和半径的估计值，在k处作一阶泰勒展开来逼近)(1+kR，得 )()()(111kT kkkRR+（19） 式中，kdRdk k1 1=+ +=， 将式（19）代入式（18） ，并对求导可得 )()()()() 1(11111kT kkkkkkRRkJJk+（20） 又将)(kJ在k处作一价泰勒展开，得 )()()(kkkkkjjj+= （21） 将式（21）代入式(20)，并注意k使)(kJ达到极小值，即0)(=kJ，所以 )()()()()

14、1(11111kT kkkkkkkkkRRkJJk+（22） 在式（22）中令1 +=k，则0)(1=+kJ，整理上式可得 )()( 1111111KKKkT kkkkkkRRkj+ （23） 上式即为参数估计的递推形式，为了便于计算，令 1111)(+=T kkkkkkjp （24） 对式（20）求导可得 T kkkkkkjjk111)() 1(+=+ （25） 由式（24） 、 （25）用矩阵求逆，可得 111 11+ +=kkT kkT kk kkppppp （26） 由此，可归纳出最小二乘圆参数估计的递推计算公式： +=+= kkkkkkkT kkT kkk kkkkkkppppppRR1111 111)(（27） 由以上递推公式，一次递推过程往往不能得到最小二乘圆的精确参数，需要经过多次迭 代才能得到符合要求的参数。 由以上分析，可以得到最小二乘圆求解递推算法步骤如下： 取0为合适的初值，)3(101042 0阶单位矩阵为IIp=； 1+= kk； 由式（27）递推计算