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1、附附数学是既一门科学，也是一门艺术。数学是既一门科学，也是一门艺术。高等数学形成于十七世纪，之后又得到很大的发展，但高等数学的萌芽可 以追溯到公元前的古希腊。高等数学的内容抽象，范围十分广泛，可谓“学海 无涯” ，因此要学好高等数学就必须“苦作舟”了。 要学好高等数学，其三要：勤学苦练、 培养兴趣、持之以恒。 高等数学内容广博、思想精湛，学习起来处处都可以体会到思维的力量。 例如，极限的概念把无限这现实世界中是无法达到的过程描绘得活灵活现，羽 羽如生；通过极限，用正多边的面积得出圆的面积；通过分割、近似、求和、 取极限求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积竟然得出相同的数学模型，从 而引出定积分
2、的概念，有谁悟不出其中深刻的数学思想呢？ 可以说，当你学懂高等数学的一个概念、一个结论、或者一个证明，你都 会觉得宛如一件件精湛的艺术品呈现在你眼前，使你感到惊奇，感到兴奋，感 到数学的美。例如 ，偶函数的图象可以给你对称性的美，极限的定义和泰勒公 式可以给你简洁性的美，切线的定义可以给你精确性的美，而从罗尔中值定理 推广到拉格朗日中值定理再推广柯西中值定理可以给你开阔性的美等等。 学会了品味数学，就等于在你的心灵深处装配了一台发动机，给你提供学 习的内在动力，这样你就不愁学不好高等数学了。把数学作为艺术的另一层意 思是说，学习数学和学习艺术一样，是要通过多做多练才能学好的，所谓“台 上一分钟
3、，台下十年功” ，说的就是这个道理。 那种幻想用“平时不努力，考试高突击”的学习方法来学习高等数学的人， 注定是要失败的。 就知识点来说，高等数学的教学目标一般可以分成知识、领会、运用、分 析综合四个层次。对知识层次的教学目标，要求能够记忆或再认所学的内容即 可；对领会层次的教学目标，要求在交流的过程中能够理解或为便于交流简单 变通对所学的内容；对运用层次的教学目标，要求在没有说明问题解决模式的 情况下能够正确地把抽象概念运用于适当的情境；对分析综合层次的学习内容， 要求能够把问题分解成各个组成部分，弄清各部分之间的相互关系及其构成方 式，并把各部分解决问题的要素综合起来，形成一个整体。 通过
4、学习某个内容你达到了何种层次教学目标的水平，都可以用相应的问 题来测量。如果你能解答运用能力层次的问题，就表明你达到了运用层次的教 学目标；如果你只能看懂或听懂这方面的内容，说明你没有达到运用层次的要 求，应进一步努力。必须注意的是，高等数学的考试大都是在运用能力层次上 进行的，因此仅仅满足于听得懂看得懂，不可能取得好的学习成绩。 有几种思想方法值得注意： 一是变量、函数与连续的思想一是变量、函数与连续的思想。中小学数学中研究的量主要是常量，是静 止的、不变的；高等数学中研究的量主要是变量，是运动的、变化的。因此， 学习高等数学首先必须克服静的思想障碍，实现由静向动的思维方式的转变， 同时还要
5、掌握动与静、变与不变之间的辨证关系。函数是两个或两个以上变量 之间的依赖关系，是高等数学研究的主要对象；连续是函数的一个非常重要的 属性，高等数学中许多重要的结论都以连续作为前提条件的。二是极限的思想方法二是极限的思想方法。极限是高等数学中最重要的一个概念，是高等数学 的基石。 “如果把极限概念以及与极限有关的内容从高等数学中删除，那么高等 数学的内容将所乘无几” 。通过极限，我们就可以把动与静、变与不变、有限与 无限紧密地联系起来，从而为高等数学中许多重要的概念，例如连续、导数、 定积分等提供基础，解决初等数学中不能解决的问题。 三是数学建模的思想方法三是数学建模的思想方法。数学模型是针对或
6、参照某种客观事物的主要特 征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地或近似地表达出来的数学结 构；从广义上来说，数学中的概念、公式、定理、法则、函数等都可以理解为 数学模型。 高等数学内容很多，学时有限，要把主要精力放在基本概念、基本理论和 基本方法的学习上，这样才能突出学习的重点。高等数学的基本概念有高等数学的基本概念有：极限的概念，函数与函数连续的概念，导数与微分的 概念，不定积分的概念，定积分与原函数的概念，向量、数量积与向量积的概 念，多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，二重积分的概念等。 高等数学的基本理论有高等数学的基本理论有：连续函数的性质，连续、可导和可微之间的关系，微 分
7、中值定理，积分中值定理，微积分基本定理，向量与曲面的基本理论，重积 分的基本理论，格林公式，高斯公式，级数与幂级数的基本理论，常系数线性 微分方程解的基本理论等。 高等数学的基本方法有高等数学的基本方法有：极限的运算法 则，夹逼准则与单调有界准则，导数的 运算法则，复合函数的求导法则，隐函 数求导法，构造函数证题的方法，洛必 达法则，单调性的判断，极值点与极值 的判断与求法，拐点与凹凸性的判断与 求法，不定积分和定积分的运算性质，不定积分和定积分的换元积分法、分部 积分法，定积分的微元法，平面图形面积与旋转体体积的求法，向量点积与叉 积的计算，平面与直线方程的求法及其位置关系的判断，偏导数与全
8、微分的求 法，多元函数极值的判断与求法，空间曲线的切线与法平面的求法，曲面的切 平面与法线的求法，二重积分与三重积分的计算方法，两类曲线积分与两类曲 面积分的计算方法，正项级数的审敛法，交错级数的审敛法，幂级数收敛半径 与收敛区间及其和函数的求法，将函数展开成幂级数与傅立叶级数，可分离变 量与一阶微分方程的解法，齐次方程与全微分方程的解法，二阶常系数齐次与 非齐次微分方程的解法等。 高等数学的难点有高等数学的难点有：极限的概念，分段函数连续性与可导性的讨论，复合函数 的导数，隐函数与参数方程所确定的函数的二阶导数，构造法中函数的构造， 凑微分法，定积分中一些问题的证明，利用微元法解物理问题，涉及叉积的一 些问题，多元函数微分的定义，抽象函数的二阶导数，方程组所确定的隐函数 的导数，多元函数极值的判断，重积分的计算，第二类曲线积分与曲面积分的 计算，斯托克斯公式，交错级数的审敛法，将函数展开成傅立叶级数，常系数 非齐次线性微分方程特解的求法等。江西理工大学南昌校区江西理工大学南昌校区 校团委校团委 社联社联 数学爱好者协会数学爱好者协会 2007-12-42007-12-4
