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1、岳阳县一中2012 届高三文科数学 第 1 页 共 5 页新新课标课标回归教材回归教材 不等式不等式 1 1、不等式的性质、不等式的性质: 名称不等式名称不等式 对称性(充要条件)abba传递性,ab bcac可加性(充要条件)abacbc 同向不等式可加性: ,ab cdacbd 异向不等式可减性: ,ab cdacbd可乘性,0 ,0ab cacbc ab cacbc 同向正数不等式可乘性: 0,0abcdacbd 异向正数不等式可除性:0,0ababcdcd乘方法则0(,2)nnababnN n开方法则0(,2)nnabab nN n倒数法则110,ababab常用结论(充要条件)33a
2、bab注注: :表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据. 典例典例:1)对于实数中,给出下列命题:;, ,a b c22abacbc22acbcab; 220abaabb110abab0baabab;.0| |abab0abcabcacb11,0,0ababab其中正确的命题是 . 2)已知,则的取值范围是;11xy 13xy3xy1,73)已知,且则的取值范围是.abc0,abcc a1( 2,)22 2、不等式大小比较的常用方法、不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式)
3、; (3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.典例典例:1)设,比较的大小01,0aat且11loglog22aatt和答案:当时, (在时取“=”);1a 11loglog22aatt1t 当时,(在时取“=”);01a11loglog22aatt1t 2)已知,试比较的大小.( 答:)0,1aa3211,aapaqapq3)设,试比较的大小(答:);2a 1 2paa2422aaq, p qpq4)比较 1+与的大小.log 3x2log 2(01)xxx且答:当或时,1
4、+;01x4 3x log 3x2log 2x岳阳县一中2012 届高三回归教材 第 2 页 共 5 页当时,1+;当时,1+413xlog 3x2log 2x4 3x log 3x2log 2x5)若,且,比较的大小.(答:) , ,a b cR0.50.522log,(0.5)log,(0.5)logabcabc, ,a b ccba 3.3.利用重要不等式求函数最值利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等一正二定三相等, ,和定积最大和定积最大, ,积定和最小积定和最小”. 典例典例:1)下列命题中正确的是( B )A.的最小值是 2 B.的最大值是1yxx423(0)yxxx24 3
5、C.的最小值是 2 D.的最小值是; 2232xy x 423(0)yxxx24 32)若,则的最小值是;21xy24xy2 23)已知,且,则的最小值为 18;, x yR1xy82 xy变式:已知,则的最小值为 18 ;01x82 1xx:已知,且,则的最大值为 1 ;, x yR419xyxy:已知,且,则的最小值为 9 ;, x yR4xyxyxy4.4.常用不等式常用不等式有:(1)当时取=号)222 1122abababab ( ,a bRab(2)当时取=号)2 22()2( ,2ababab a bRab上式从左至右的结构特征为:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“积两倍”.
6、(3)真分数性质定理:若,则(糖水的浓度问题).0,0abmbbm aam 典例典例:若,满足,则的取值范围是., a bR3ababab9,5 5、证明不等式的方法、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法. 比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出结论.)常用的放缩技巧有:(右边当时成立)21111111 1(1)(1)1nnn nnn nnn2n 11111121kkkkkkkkk 典例典例:1)已知,求证: ;abc222222a bb cc aabbcca 2)已知,求证:;, ,a b cR222222()a bb c
7、c aabc abc3)已知,且,求证:;, , ,a b x yR11,xyabxy xayb4)若是不全相等的正数,求证:;, ,a b clglglglglglg222abbccaabc5)若,求证:;*nN2(1)1(1)nn 21nn 岳阳县一中2012 届高三文科数学 第 3 页 共 5 页6)求证:.2221111223nL6.6.常系数一元二次不等式的解法常系数一元二次不等式的解法:判别式图象法 步骤:(1)化一般形式:,其中;20( 0)axbxc0a (2)求根的情况:;200(0,0)axbxc 能否因式分解(3)由图写解集:考虑图象得解.2(0)yaxbxc a典例典例
8、:解不等式.(答:)2620xx21, )32x 注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我 们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无穷大)是 对应一元二次方程(函数)的根(零点). 典例典例:若关于的不等式的解集为,解关于的不x20axbxc |,(0)x xmxn nm或x等式.(答:)20cxbxa11 |,x xxnm 或7.7.简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法:标根法: 其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个
9、一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回奇穿偶回); (3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集.( )f x典例典例:1)解不等式.(答:或);2(1)(2)0xx |1x x 2x 2)不等式的解集是;2(2)230xxx |3,1x xx 或3)设函数、的定义域都是,且的解集为,的解集( )f x( )g xR( )0f x |12xx( )0g x 为,则不等式的解集为;( )( )0f xg x(,1)2,)U4)要使满足关于的不等式(解集非空)的每一个的值至少满足不等式x2290xxax和中的一个,则实数的取值范围是.2430xx2680xxa8
10、17,)8 8.8.分式不等式的解法分式不等式的解法: 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使每并使每 一个因式中最高次项的系数为正一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但 分母恒为正或恒为负时可去分母.典例典例:1)解不等式(答:);25123x xx ( 1,1)(2,3)U2)关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为x0axb(1,)x02axb x .(, 1)(2,) U 注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有 意义范围的端点值. 9.9.绝对值不等式的解法绝
11、对值不等式的解法:(了解) (1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集)典例典例:解不等式;(答:);31|2| 2 |42xx xR(3)利用绝对值的定义;(3)数形结合;岳阳县一中2012 届高三回归教材 第 4 页 共 5 页典例典例:解不等式;(答:)|1| 3xx(, 1)(2,) U (4)两边平方典例典例:若不等式对恒成立,则实数的取值范围为|32| |2|xxaxRa4 3 1010、含参不等式的解法、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键 ” 注意:解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是”. 按参数讨论,最后应按参数取值
12、分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. 典例典例:1)若,则的取值范围是;2log13aa21,03aa或2)解不等式.2 ()1axx aRax(答:时,;时,或;时,或)0a |x0x 0a 1 |x xa0x 0a 1 |0,xxa0x 含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法. 一般地,设关于的含参数的一元二次形式的不等式为:.xa2( )( )( )0( 0)f a xg a xr a(1)第一级讨论:讨论二次项系数是否为零;( )f a(2)第二级讨论:若时,先观察其左边能否因式分解,否则讨论的符号;( )0f a (3)第三级讨论:若时,先观
13、察两根大小是否确定,否则讨论两根的大小.( )0,0f a 12,x x 注意:每一级的讨论中,都有三种情况可能出现,即“”,“=”,“”,应做到不重不漏. 典例典例:1)解关于的不等式.x220()axxaaR答答:当时,;当时,;1a x01a221111(,)aaxaa当时,;当时,0a (0,)x10a 221111(,)aaxaa当时,1a xR 2)解关于的不等式.x222()axxax aR答答:当时,;当时,0a 2,)xa0a (, 1x 当时,;当时,;当时,20a 2, 1xa2a 1x 2a 2 1,xa 提醒提醒: :解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示
14、. 11.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式？ 常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征, 利用数形结合法. 1).1).恒成立问题恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 f xADD minf xA若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 f xBDD maxf xB典例典例:1)设实数满足,当时,的取值范围是;, x y22(1)1xy0xycc21,2)不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围; 43xxaxa1a 岳阳县一中2012 届高三文科数学 第 5 页 共 5 页3)若对满足的所有都成立,则的取值范围;221(1)xm x 2m mx7131(,)224)若不等式对于任意正整数恒成立,则实数的取值范围是1( 1)( 1)2n na nna3 2,
