云雾滴的扩散增长

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1、1第七章第七章 云雾滴的扩散增长云雾滴的扩散增长当云中水滴达到临界半径 rc后，就要进入增长阶段。只要过饱和度能继续 维持，它就能靠水汽的扩散而增长。 为研究云雾滴的凝结增长，必须有下面六个方程，即饱和比表达式， 克拉珀龙克劳修斯方程，质量扩散方程，热扩散方程，能量守恒方程， 柯拉方程。 在这六个方程中，柯拉方程阐述了具体研究的对象(云滴)的特点。质量扩 散方程和热扩散方程表示研究对象(云滴)与环境条件之间的关系，说明环境条 件对云滴增大的影响。能量守恒方程表示质量扩散方程与热扩散方程间的关系， 是关联方程。其他几个方程为辅助方程，是为解决云雾滴凝结生长问题需要的。 解决这个问题，在于希望得到

2、* MERGEFORMAT (0.1), , ,drf S r Tdtc的关系。以便研究云粒子尺度变化速率与饱和比 S、半径 r、温度 T、溶质浓 度 c 之间的关系。 上述六个方程中，最核心的是质量扩散方程和热量扩散方程。1.1质量扩散方程质量扩散方程a. 质量扩散系数质量扩散系数对云滴的增长或变小，都假定是由于空气中的水汽分子扩散所致。设某点周围的水汽密度梯度为，有一个垂直于此水汽密度梯度的球面积为 A。由vd dr于此水汽密度梯度的作用，使单位时间通过此球面积的水汽质量为。定义dM dt 水汽分子扩散系数为* MERGEFORMAT (0.2)1vdM dtDdA dl可见 D 是“单位

3、水汽密度梯度作用下，在单位时间通过垂直于水汽密度2梯度的单位面积的水汽扩散质量” 。由于与的符号相同，因而 D 恒为vd dldM dt 正值。 在气温为-40+40之间，D 与温度、气压的关系（WDHall 和 HR；Pruppacher，1977）是* MERGEFORMAT (0.3)1.94000.211pTDTp其中 T0 = 273.15 K，p0 = 1013.25 hPa，D 的单位为 cm2s-1。根据* MERGEFORMAT (0.3)式可以看出：温度愈高，气压愈低，则扩散系数愈大。 因为温度高则分子运动强烈，气压低则空气分子 数密度小，扩散时互相碰撞少，分子自由程大，

4、所以扩散也就容易些。 对于我们所研究的云滴表面薄层，假设所有 物理量均与方向无关，即各向同性，如图。图中 设有在 o 处的一个水滴，半径为 r，假设其温度与环境温度分别为 Tr和 T，水 汽压分别为 Ern和 e，水汽密度分别为 rv和 v。由 D 的定义* MERGEFORMAT (0.2)式有* MERGEFORMAT (0.4)24vvdddMADl Ddtdldl或* MERGEFORMAT (0.5)24vdMdlDddtlb. 水滴质量扩散方程水滴质量扩散方程如图在定常过程中，通过以 o 为中心的不同同心球面上的水汽质量通量不随同心球半径大小而改变，并假设dM dt等于单位时间到达

5、水滴表面上的水量（质量增长率） 。dM dt 如果 D 不因距离而变。对* MERGEFORMAT (0.5)式积分， 可得* MERGEFORMAT (0.6)24vrvvrdMdlDddtl上式的边界条件中，由于假定 r 很小，故可把距水滴表面不很远处的距离相对3于 r 的尺度可作为无穷远处理，积分后得* MERGEFORMAT (0.7)4vrvdMrDdt这就是水滴质量增长方程的基本形式。c. 质量扩散引起的尺度变化质量扩散引起的尺度变化对于单个云滴，如果希望得到水滴半径的增长率而不是质量的增长率，可将上式转化为的表达式。因，其中 w为液水密度，所以有dr dt34 3wMr* MER

6、GEFORMAT (0.8)32443wwdMddrrrdtdtdt将其代入* MERGEFORMAT (0.7)式，得 244wvrvdrrrDdt或写为* MERGEFORMAT (0.9)wvrvdrDrdt为了习惯上的方便，可利用水汽状态方程将* MERGEFORMAT (0.9)式中 的水汽密度用水汽压表示。由水汽状态方程可得* MERGEFORMAT (0.10)1rn vrv vrEe RTT代入* MERGEFORMAT (0.9)式，可得* MERGEFORMAT (0.11)rnwvrEdrDerdtRTT这就是常用的计算水滴通过水汽扩散产生凝结增长的半径变化方程 （Max

7、well 方程，1890） 。如果不考虑 Tr与 T 的温度差异，可见，1）凝结增长正比于 e-Ern。当 eErn时，水滴将增大，当 e5m 时也可忽 略。因此如不考虑曲率及浓度效应，* MERGEFORMAT (0.26)式可简化为8* MERGEFORMAT (0.27) 221wwvavSdrrdtLR T K R TDET式中分子（S-1）即为环境空气的过饱和度。因为此式中分母均为正值，故当 水滴蒸发时则（S-1）0。 * MERGEFORMAT (0.27)式中，如令* MERGEFORMAT (0.28) 22;wwvavLR TabK R TDET则得* MERGEFORMAT

8、 (0.29)1drSrdtab 由于 S、a、b 一般是随时间变化的，因此上式很难积分。但在有些实验室 条件下，可保持温度和过饱和度不变，从而使 S、a、b 几乎成为常数。便可对 上式积分 00211 2rtrtSd rdtab* MERGEFORMAT (0.30)22 0021Srrttab如 t0 = 0，并令，则上式可改写为21Scab* MERGEFORMAT (0.31)22 01trrc此式说明水滴增大的规律基本上是抛物线形的。在 r、t 坐标中，r 不论正负， 只要绝对值相同，就必有同一个 t 值。可见此抛物线的对称轴为 t 轴。但 r 不 应为负值，故这只能是抛物线的上一半

9、。又 t 应自零开始，因此它仅是抛物线 上股在第一象限的一段。 说明水滴自小增大，其半径的增大速度是愈来愈慢的。这是因为大水滴与 小水滴相比，增长同一半径所需的水质量要大得多.如果研究水滴的质量增长率，则因为dM dt244wwdMdrdrrrrdtdtdt所以有9* MERGEFORMAT (0.32) 3232411nrnvravCCrSdMrr dtCR TCL rrK R TDET如不考虑曲率和浓度效应，则上式可简化为* MERGEFORMAT (0.33) 2241vavr SdM R TLdt K R TDET 如果令* MERGEFORMAT (0.34) 22;vavR TLa

10、bK R TDET则得* MERGEFORMAT (0.35)41r SdM dtab可以看出正比于 r，即半径愈大，质量的增长愈快。dM dt1.6通风因子对水滴凝结增长的影响通风因子对水滴凝结增长的影响在推导凝结增长方程时，假定水滴相对于空气是静止的（雾中较为合理） ， 然而实际云中水滴与环境空气之间通常都会有相对运动，即通风效应对凝结过 程是有影响的。包括其它对扩散凝结增长方程的理论修正及评述，请参考 （Fukuta, N., and Walter, L. A., 1970, Kinetics of hydrometeor growth from a vapor-spherical mo

11、del. J. Atmos. Sci., 27, 1160-1172） 。设水滴同环境空气之间的相对速度为 u，其质量增长率用表示；静udM dt止水滴的相应量用表示，二者之间的关系可表示如下0dM dt* MERGEFORMAT (0.36)0udMdMfdtdt10因此不考虑曲率和浓度效应的半径增长方程相应为* MERGEFORMAT (0.37)1f Sdrrdtabf 称为通风系数，有（Pruppacher and Klett, 1978）* MERGEFORMAT (0.38)ReRe 1/2 ReRe1.000.09,02.5 0.780.28,2.5NNfNNNRe是气流绕过液滴

12、时的 Reynolds 数，定义为 2aru/，a和 分别是 空气的密度和动力学粘滞系数。 f 总是大于 1，所以相对于空气运动的水滴，其凝结速率总是大于静止时 的，而且运动速度越大凝结速率也越大。 这现象可解释如下： 设想一水滴处于一均匀的水汽场中，水汽压大于水滴的饱和水汽压，就发 生了凝结。凝结开始后，临近水滴的水汽密度下降，一直到建立一稳定的水汽 扩散场时，临近水滴的水汽密度降至最低。因为凝结率与水汽密度成正比，因 此，在趋向稳定态的过程中，凝结速率是逐渐降低的，稳定时降至最低值。在 水滴相对于空气运动时，稳定的水汽扩散场一直建立不起来，临近水滴的水汽 密度始终高于稳定水汽扩散场中的相应

13、值，因此它的凝结速率高于水滴静止 时的。1.7云滴尺度随高度的变化云滴尺度随高度的变化上面研究的是，即水滴半径随时间增长。如果是气块上升膨胀冷却、dr dt凝结增长，可以得到云滴在垂直上升气流中半径随高度的变化。dr dz 由于该情况下 drdr dz dtdz dt其中为云滴的垂直运动速度，它是上升气流速度 w 与云滴下降末速度 ut差dz dt （标量形式） ，有 tdrdrwudtdz将上式代入凝结增长方程* MERGEFORMAT (0.37)式，可得11* MERGEFORMAT (0.39) 1tSfdr dzr wuab这就是云滴半径随高度的变化公式。 以上讨论的水滴凝结增长公式

14、也都适用于蒸发过程。蒸发过程中（S-1） 0，通风效应同样会加强蒸发。1.8冰晶的凝华增大冰晶的凝华增大a. 冰晶升华与电容体漏电的类比冰晶升华与电容体漏电的类比冰晶的凝华增长，虽与云滴的凝结增长有相似性，但也有不同点。其中最 显著的差异在于冰晶不是球形，它具有较复杂的形状。 对于不同形状冰晶的凝华增长，即为升华变小的反过程，所采用的处理方 法借鉴于不同电容的漏电问题，该问题在物理学中已有一套完整的处理方法。 其主要对比如下： 升华现象漏电现象一个具有电量为 Q 的微电容体一个具有质量为 M 的微冰晶体 位于环境大气中 表面具有一定电位 V0因贴冰气层各处温度相等，于是表面具有一定 （饱和）水

15、汽密度 v0 由表面向外形成等电位面（等 V 面）由贴冰表层向外形成等水汽密度面（等 v面） 距电容体很远处，电位为背景电位 V 距冰晶很远处，水汽密度为背景水汽密度 v所以存在电位梯度dV dr所以存在水汽密度梯度vd dr电位梯度驱使电荷从高电位流向低电 位水汽密度梯度驱使水汽从高密度区流向低密度区移走的电荷来自电容器，造成漏电现 象移走的水汽来自冰晶，造成升华现象单位时间移走的电量称为漏电dQ dt流（i）单位时间移走的水汽量称为水汽通量dM dt垂直于电位梯度的单位面积的电流垂直于水汽密度梯度的单位面积的水汽通量称为12称为电流面密度，也可写为di ds，称电荷面通量ddQ dsdt水汽面通量ddM dsdt电荷面通量是由电位梯度驱动的，其 大小还受环境空气的电导率（）影 响水汽面通量是由水汽密度梯度驱动的，其大小还 受环境空气水汽扩散系数（D）影响电导率定义dd