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1、第一学期第二次课第一学期第二次课2 一元高次代数方程的基础知识一元高次代数方程的基础知识1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题高等代数基本定理及其等价命题1. 高等代数基本定理高等代数基本定理 设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果KxKKx，则称为的次数，记为)0(,.)(01 10axKaxaxaxfnnnn)(xf。)(degxf定理定理（高等代数基本定理） C的任一元素在 C 中必有零点。x命题命题 设是 C 上一个次多项式，) 10( ,.)(01 10naaxaxaxfnnn，n是一个复数。则存在 C 上首项系数为的次多项式，使得a0a1n)(xq)()()(
2、afaxxqxf证明证明 对作数学归纳法。n推论推论 为的零点，当且仅当为的因式（其中） 。0x)(xf)(0xx )(xf1)(degxf命题命题（高等代数基本定理的等价命题） 设 nnnaxaxaxf.)(1 10为 C 上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复) 10(0na，nn数，使naaa,.,21).()()(210nxxxaxf证明证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对作数学归纳法。n2高等代数基本定理的另一种表述方式高等代数基本定理的另一种表述方式定义定义 设是一个数域，是一个未知量，则等式Kx0.11 10 nnnnaxaxaxa（1）（其中）称为数域
3、上的一个次代数方程代数方程；如果以0,.,010aKaaanKn带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个根根。KxK定理定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域上的次代数方程在复数K) 1(n域 C 内必有一个根。命题命题 次代数方程在复数域 C 内有且恰有个根（可以重复） 。nn命题命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定 C 上两个 n 次、m 次多项式，)0(.)(10nn naxaxaaxf，)0(.)(10mm mbxbxbbxg如果存在整整数 ,及个不同的复数，使得lnlml,1l121,.,ll，) 1,.,2 , 1()()(ligfii则。)()(xg
4、xf1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性韦达定理与实系数代数方程的根的特性设，其中。设的复根为1 01( )nn nf xa xa xaL0,0iaK a( )0f x （可能有重复） ，则12,n L12 101 12121( )()()()()().nin inn nnf xxxxxaxx LLLL所以；)() 1(21101 naaL； niiiiaa2121 0202) 1(LLLLLLLL.) 1(21 0nnn aaL我们记；1),(210nL；nnLL21211),(LLLLLLLL； niiiiiinrrr LLL2121 021),(LLLLLLLLnnnLL212
5、1),(（称为的初等对称多项式初等对称多项式） 。于是有12,n L12,n L定理定理 2.5 (韦达定理) 设，其中。设1 01( )nn nf xa xa xaL0,0iaK a的复根为。则( )0f x 12,n L；),() 1(211101 naaL；),() 1(212202 naaLLLLLLLLL).,() 1(21 0nnnn aaL命题命题 给定 R 上次方程n， ，0.11 10 nnnnaxaxaxa00a如果i 是方程的一个根，则共轭复数i 也是方程的根。ba ba 证明证明 由已知，.1 011.0nn nnaaaa 两边取复共轭，又由于R，所以naaa,.,10.1 011.0nn nnaaaa 推论推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。证明证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C C 内有奇数个根，故其中必有一根为实数。
