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1、工科复变工科复变 1-21-2ppt 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。1-2 复平面上曲线和区域一 、复平面上曲线方程的各种表示 二 、简单曲线与光滑曲线 三、平面点集与区域1复平面上曲线方程的各种表示 一、复平面上曲线方程的各种表示 复平面上曲线方程有两种表示方式 复平面上曲线方程有两种表示方式 ?直角坐标方程 直角坐标方程 ?参数方程 参数方程21.复平面上曲线 1.复平面上曲线 C 的直角坐标方程3例 试用复数表示圆的方程A(x + y ) + Bx + Cy + D = 02 2A,B,C,D 是实常数 是实常数（ 其中 A,B,C,
2、D 是实常数（ A 0）4如果 A=0,B 及 不全为 0 如果 A=0,B 及 C 不全为 0，这是直线方程 A=0,Bz + z + D = 0即为复平面上，直线方程的一般形式。 即为复平面上，直线方程的一般形式。5(1) 用复数的实部或虚部的等式表示 Re(z-z0)=a 是 XOY 平面上的直线 是 平面上的直线 x=a+Re(z0) Im(z-z0)=b 是 XOY 平面上的直线 平面上的直线 y=b+Im(z0) 是 平面上的直线4P15,6(3)Im(z-i2)=26(2)用复数模的等式表示 用复数模的等式表示 |z-z0|表示动点 到定点 0 的距离 表示动点 z 到定点 表示
3、动点 到定点 z |z-z0|a 表示以 0 为中心，以 a 为半径的圆周 表示以 z 表示以 为中心， 为半径的圆周 |z-z1| |z-z2|表示到定点 1 和 z2 等距离点的 表示到定点 z 表示到定点 轨迹，即线段 轨迹，即线段z1z2 的垂直平分线 |z-z1| |z-z2|2a(|z1-z2|2|a|)表示以 或 表示以 z1 和 z2 为焦点，以 a 为实半轴的双曲线，其 为焦点， 为实半轴的双曲线 为实半轴的双曲线， 中正号代表离焦点 z2 近的分支，负号代表 中正号代表离焦点 近的分支， 另一分支。 另一分支。P15,6(1) |z+2|+|z-2|=6-2238(3)用含
4、复数辐角的不等式表示 用含复数辐角的不等式表示 从点 z 出发，与实轴夹角 从点 z0 出发，与实轴夹角 0 的射线 arg( z ? z0 ) = 0 (? 0, 常数)解：因为 z = (1 + i )t + i 等价于 X=t,y=t+ 消去 t X=t,y=t+ 等价于 X=t,y=t+,消去 t 得 y=x+ y=x+(x0) arg( z ? i ) = ( z i )4从点 z 出发，与实轴夹角 从点 z0 出发，与实轴夹角 0 的射线arg( z ? z0 ) = 0 ( ? 0 )122 Jordan 曲线与连通区域 曲线与连通区域（1） 连续曲线 ）如果 x ( t ) 和
5、 y ( t ) 是两个连续的实函数 表一条平面曲线 , 称为连续曲线 . ,那末方程组 x = x ( t ) , y = y ( t ), ( a t b ) 代平面曲线的复数表示: 平面曲线的复数表示:z = z ( t ) = x( t ) + iy( t ). (a t b)13（2） Jordan 曲线 ） 曲线设 C : z = z ( t ) ( a t b ) 为一条连续曲线 , z ( a ) 与 z ( b ) 分别称为 C 的起点和终点 .当 t1 t 2 而有 z ( t1 ) = z ( t 2 ) 时 , 点 z ( t1 ) 称为曲 线 C 的重点 .除起点与终
6、点外无重点的连续曲线 C 除起点与终点外无重点的连续曲线 称为 简单曲线. 简单曲线. 起点与终点重合的曲线 C 称为闭曲线. 起点与终点重合的曲线 称为闭曲线. 简单闭曲线称为Jordan(若当)曲线. 简单闭曲线称为 Jordan(若当)曲线. Jordan(若当14Jordan 曲线的性质 曲线的性质 任意一条简单闭曲线 C 将复平面 唯一地分成三个互不相交的点集. 唯一地分成三个互不相交的点集.y外部 内部边界ox15课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?z(a) ?z(a) ? z(b)答 案 简 单 闭 简 单 不 闭z(b) z(a) ? z(b) z(a) ?不 简 单 闭 不
7、 简 单 不 闭z(b)16（3） 光滑曲线 ）如果在 a t b 上 , x ( t ) 和 y ( t ) 都是连续的 , 且对于 t 的每一个值 , 有 x ( t )2 + y ( t )2 0, 那末 称这曲线为光滑的 .由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为逐 段光滑曲线. 称为逐(分)段光滑曲线.yyoxox17平面点集与区域 三、平面点集与区域（1） 邻域 ）平面上以 z0 为中心 , ( 任意的正数 )为半径 的圆内部点的集合 z ? z0 0 , 满足 z R 的所有点的集合 ( 包括无穷 远点自身在内 ), 称为无穷远点的邻域 .18(2) 去心邻域称由不等式 0 0
8、, 满足 z R 的点的集合 (不包括无 穷远点 ), 称为无穷远点的去心邻 域 . 可以表示为 R 0, 使区域的每一个 点都满足 z 0; 上半平面: (3) 角形域 ?1 , z 31 是以原点为中心 , 半径为 3 的圆的外部 , 无界的多连通域 无界的多连通域.30( 4) z ? 1 + z + 1 AD, A 02()得 Aww + a w + a w + a D = 02这就证明了映射 = a z 是保圆的。 w也具有保圆性 因此整线性映射 w=az+b 也具有保圆性。 也具有保圆性。451-4 复变函数的极限和连续46一、 复变函数的极限定义 1 设复变函数 w = f (
9、z ) 在 z0 的某个去心邻 域 0 0, 总存在 ( ) 0 (0 0, 当 z D (或 C )时， f ( z ) M .54例 2 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 那末 f ( z ) 在点 z0 处也连续 .证设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ),则 f ( z ) = u( x , y ) ? iv ( x , y ),由 f ( z ) 在 z0 连续,知 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )处都连续 ,于是 u( x , y ) 和 ? v ( x , y ) 也在 ( x0 ,
10、y0 )处连续 ,故 f ( z ) 在 z0 连续 .55例 3 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 且 f ( z0 ) 0 , 的某个邻域， 则必存在 z0 的某个邻域，使得 f ( z ) 0 . 证点连续， 由 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在 z0 点连续，知 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )处都连续 , 因此f ( x , y ) = u 2 ( x , y ) + v 2 ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )处连续 ,因 f ( z0 ) 0, 所以 f ( z0 ) 0
11、, 由二元函数连续性 , 的某个邻域， 必存在 ( x0 , y0 ) 的某个邻域，使得 f ( z ) 0, 因而 f ( z ) 0.56与数学分析中的连续函数一样， 与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证 得以下定理 定理 5 包括两端点） 定理 5 函数 f (z )在简单曲线 C（包括两端点）或 上连续， 者有界闭区域 D 上连续，则 为连续； | f ( z ) | 在 C 或者 D 为连续； 在它上能取到最大值与最小值； | f ( z ) | 在它上能取到最大值与最小值； 在它上一致连续， f (z ) 在它上一致连续，即对任意的 0 ,存 在 =() 0，使当 z1, z
12、2 C 或者 z1, z2 D 且 | z 1 ? z 2 | 时，有| f ( z 1 ) ? f ( z 2 ) | 57复变函数在一点的极限可用两个二元实 函数在一点的极限来讨论， 函数在一点的极限来讨论，即lim f (z) = A? lim Re f (z) = Re Azz0 RezRez0 ImzImz0Re zRe z0 ImzImz0lim Im f (z) = Im A58本章主要内容定义表示法 平面表示法 向量表示法 三角表示法 指数表示法 球面表示法 共轭运算复数表示法复 数曲线与区域复数的运算代数运算 乘幂与方根59本章注意两点复数运算和各种表示法复数方程表示曲线以及
13、不等式表示区域60欧拉) L. Euler(欧拉)简介 1707.4.15 生于瑞士， 1707.4.15生于瑞士，巴塞尔 生于瑞士 1783.9.18 卒于俄罗斯，彼得堡 1783.9.18 卒于俄罗斯， 卒于俄罗斯 Euler 是 18 世纪的数学 Euler 是 18 世纪的数学 巨星；是那个时代的巨人， 巨星；是那个时代的巨人， 科学界的代表人物。 科学界的代表人物。历史上 几乎可与 Archimedes Archimedes、 几乎可与 Archimedes、 Newton、Gauss 齐名 齐名。 Newton、Gauss 齐名 他在微积分、几何、数论、 他在微积分、几何、数论、变
14、分学等领域有巨 大贡献。Newton、Leibniz 发明了微积分 发明了微积分， 大贡献。可以说 Newton、Leibniz 发明了微积分， Euler 则是数学大厦的主要建筑师 则是数学大厦的主要建筑师。 而 Euler 则是数学大厦的主要建筑师。61A. de Moivre 棣莫佛简介1667.5. 26 生于法国 1667.5. 26 生于法国 27 卒于英国 1754. 11. 27 卒于英国 在概率论、复数理论等领域 在概率论、 做了一些出色的工作。 做了一些出色的工作。 解决斐波那契数列的通项问 L.Fibonacci(1170 (1170 题。L.Fibonacci(1170-1250)621
