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1、一个供自动绘图机产生多种典型曲线的方法一个供自动绘图机产生多种典型曲线的方法_ _王厚生王厚生一个供自动绘图机产生多种典型曲线的方法王厚生周利华袁仁昌抓要本文从用自动绘图机的控制器通用计算机和插补器专用计算机共同产生典型曲线的观点出发,提出了一种可产生多种典型曲线的方法。这种方法具有适用面宽,简便和无积累误差的特点,并且所产生的曲线都能进行座标旋转和模尺变换。引言现代绘图系统的构成如图 1 所示。其虚线部份就是常说的计算机控制的自动绘图机本体。它可以和中央计算机联机或脱机工作。在脱机工作时,绘图信息是由中央计算机输出并记录在磁带或纸带上,然后再通过磁带机或纸带机输入给自动绘图机的。这里中央计算
2、机要完成数据处理,图形组成和用典型曲线拟合图形的工作。这里所说的典型曲线一定要是自动绘图机能够直接绘制的曲线。因此中央计算机输送给自动绘图机的就是有关这些典型曲线的fl|习厂一一一一一一一l|中中央央央才主帝口口口口口口口口口口口口口口口升升赫机机机倾伟对籽机)检朴口口口给困扒构构(细对赫沁沁沁沁信息。从有利于拟合来说往往希望能用三次抛物线作典型曲线。当然更希望能有更多种类的典型曲线可供选用。自动绘图机本体中,控制器是一台小型通用计算机(或微型计算机),它控制整个绘图机的工作。这里所采用的一般是非直接数字控制方式。控制器主要完成操作管理,参数管理,数据加工,速度、加速度管理,工具管理,工具补偿
3、,台面尺寸补偿,文字、符号发生,故障诊断等功能。这一切均由一个绘图系统控制程序来完成。专用计算机处在控制器和绘图机构之间,它一方面接受来自控制器的命令,一方面控制绘图机构去执行这些命令。这之间它要进行大量的简单计算。它的主要功能是插补计算,速度、加速度控制,工具控制。绘图机构一般说来是一个有高速反应能力的高精度的数字伺服机构。根据中央计算机来的典型曲线信息形成绘图台所能执行的进给命令(进给脉冲串)这一功能我们叫做曲线产生。过去这一功能全是由专用机的插补功能来完成的。所以有些绘图机具有很复杂的专用机(有时就叫它插补器),它能完成很多种典型曲线的插补工作。例如直.44.西北电讯工程学院学报第四期线
4、、圆弧,抛物线,三次抛物线等。但在实际应用中总是要对图形进行座标变换(包括座标旋转和模尺变换)的。一张图中只要有一小段曲线是不能进行座标变换的,就会使整个图形都不能进行座标变换。而插补器形成的这些英型曲线中只有直线和圆弧是可以进行座标变换的,所以在此情况下真正可用的也就只有这两种典型曲线了。后来有的自动绘图机的典型曲线产生是由作为控制器的通用计算机将典型曲线间补为很多直线段,然后将这些直线段的信息输送给专用机,专用机只要完成简单的直线插补功能。(或者,甚至就由通用计算机将典型曲线间补为进给脉冲串,这样专用机就根本不需要有插补功能了。)这样产生的典型曲线都是可进行座标变换的。这也就是本文处理典型
5、曲线产生功能的出发点。本文提出一种可产生多种典型曲线的简便方法,它不会产生积累误差,并且所有这些典型曲线都能进行座标变换。同时它还可使自动绘图机在间补步长选取和速度管理上具有自适应能力,这方面的问题将在另文介绍。方法的数学方面现有线性矩阵微分方程如下:X=AX+Bu(l)X 是它的状态变量,。是外作用变量,A 和 B 都是常数矩阵。用方程(1)中的任意两个状态变量的解即可构成平面曲线,当然任意一个状态变最的解和自变量也能构成平面曲线。为了求得曲线函数的采样值,下面推导出方程(1)的离散化方程。为了便于计算机处理,我们还要把它化成递推方程的形式。方程(1)的解为:X(t)=“x(。卜“J:一 A
6、s。()若采样周期是 T,则第 K 次采样值为X(kT,:“Tx(。卜“T 丁:一 A。 “()d第 k+1 次采样值为x(k+1)T=eA(k+1)Tx(o)+eAkT 丁:k” 一 AB“r,=e“T:“kTx(。)+kT:T。一“BU(,+“(k 十T;:“T 一“TB“,所以可得离散化方程如卞xk,T=TXkT,二 Ak“TJ(k+一)Te 一 A,rsu(T)d 下(2)1980 年一个供自动绘图机产生多种典型曲线的方法或令 t=(+1)一,可得Xk+,T=ATX(kT)+:AB 一(t)t(3)其中 u,(t)=u(k+1)T 一 t。二_At 一二一二二At一工_,.其中 e”可
7、由下式求得 e 片 L 二了一(51 一 A)一其中.是么矩阵,丫一是逆拉氏变换算子用公式(2)或(3)可以逐次地求得曲线的各个采样值。这样求得的曲线采样值是准确、无原理误差的。只要曲线的一阶和二阶导数是处处连续的(任何可作典型曲线的函数都满足此条件),当采样点取的足够密时,连结各相邻采样点的线段就能以必要的精度代替该曲线。并且在把采样密度提高一倍后,在原两相邻采样点中间得到一新的采样点,这个新的采样点离原两相邻采样点的连线的距离能以必要的精度反映用直线段代替曲线所引起的误差。为了在保证必要的精度的前提下以尽量少的直线段来代替曲线,我们就有必要采用变周期采样的手段。也就是在曲线斜率变化缓慢的地
8、方,用以取代它的直线段可取得长些,采样周期可取的大些。相反在曲线斜率变化较迅速的地方,采样周期就应取得小些,用以取代曲线的直线段就短些。这样就必需有变周期采样的离散化矩阵方程。它可如下求得。设采样时间为 t。,t:,t:,一,tk,tk,第 k 次的采样周期 Tk定义为 Tk 二 kt 一kt_,。这时第 k 一 1 次的采样值为x(tk 一,)一“大 k 一 x(。)二“一!:k 一一“。U()d第 k 次采样值为x(tk)=eAtkx(o)+e“kk 一“B,J0=“Tk“k 一 X(。)+。 “卜!Itk 一e 一 ABu(:)d0tke 一 Asu(、)dtk 一 1月lK 备Ae 十
9、所以可获得变周期采样的离散化矩阵方程如下:x(tk)=eATkx(t 卜;)+eAtktke 一 A 丫 Bu()d 下tk 一 z(2,)或令 t=kt 一,则可得x(tk)二“Tx(tk 一)+TkeAt 日 u(t)dt0(3,)其中 u,(t)=u(tk 一 t)eAt 仍可如前求得,eAt=多一 (51 一 A)一 西北电讯工程学院学报第四期流程图上面的数学讨论向我们提供了一种由计算机产生曲线数据的方法。下面讨论实现这种方法的流程图。所要绘制的曲线 x(t)如果能写成线性矩阵微分方程组X 二 AX+Bu(l)则根据公式3,x(tk、二 e“Tk、(t 卜:,十Tke“、,、t)dt。
10、“0为了节省内存和提高处理速度,应在上机前对3 夕做些处理,使问题简化。为此,令:L(Tk)二 eATk,T,T、,=一 e”Bu,(,)d,护 0并予先计算好变换,尽可能地把它们变换得便于上机计算。这样就得到两个新的矩阵 L(Tk),M(Tk)。它们都是 Tk 的函数。则公式3 尹可以写成:X(tk)=L(Tk)X(tk 一,)+M(Tk).(4)利用公式以上机处理是简单的矩阵运算,所以是方便的。设要从 t*到 t。绘制曲线 X()t,则原理流程图见图1 。图1对若干种典型曲线的讨论这段的主要目的是通过若干种典型曲线的讨论来进一步说明处理方法,同时也可得出一些可供实际应用的典型曲线的公式。1
11、.多项式函数设有多项式函数表达式如下。y=anxn+an 一 lxn 一 l+aZx 艺+azx可将它化为线性矩阵方程如下,取x,=y=anXn+an 一 x 皿一+aZxZ+a,葺 1980 年一个供自动绘图机产生牢种典型曲线的方法.7一-一-一一高一一一一一甲件稽井甲一.x:二x,=nanxn 一+(n 一)a 卜:又 n 一+Za:又+a:Xn=xn 一 z 二 n!an 工+(n 一 l)!all 一:x。+!=xn=川 an因此可得勒朴nx0100010000000,二21n。X。X。XXn+x0000100Xn+l若将上式与方程(1)的形式比较,可见卜!|n 甘 n1 土 n 甘
12、n 甘 n 甘 OC 甘.010001u=0,A=:000牡 000上式可以简写为X=AX而初始条件为又:(0)=0;工:(0)=al;xn(0)=(n 一 1)!an 一、;xn+;(0)=n!an利用公式(2)求得这个多项式曲线的离散化矩阵方程为_、,AT.t,。 、X(k+l)T=e 月上 X(kT)这里eAT=了一;(s 一 A)一*一 T因为、月!|./一 100一 100000S 一 10s洲t|!一一 、尹刃A 一 SJ 吸、酬七电讯工程学院举报第四期、.!leel|els|少一一一户一-一一一-一一一一一一一-一一一一1Sn+” 飞不不一1S1s2115U000.所以俞“二-一
13、 l 一一 n,:(n 一 1)!一 1 一 T。川AT0IT11(n 一 2)!Tn 一么(。一 z),Tn 一0000厂|!1.一一在这一类曲线中作为典型曲线特别有意义的是。=3 的情况,也就是三次曲线方程,这时 y 二 a:xs+a:工 2+a:x其离散化矩阵方程为IT 护洁一 TX(k+1)T=0100001飞犷 T“TX(kT)初始条件为r:(0)=0;x:(0)=a,xs(0)=Za:x(0)=6a:。考虑到 x4k(T)二 x4(o)=6a:是一个常数,上面的公式还可化为如下形式、,IJ|!:(k+l)T(x:(k+1)Tx:(k+1)TIT鱼T20IT001a:T.3asT“6
14、a,T这里可由大:(kT),kTk(为。,1,.2 二的正整数)阵列构成所述三次曲线的采样值阵列。同样我们可用公式(2,)求得变周期采样的离散化矩阵方程如下,厂 leslesl 毛、lwe!weeses 了IL 义一一!一 1esJ盆 1(tk)工:(tk)x:(tk)T、合 T、 0100Tkxl(tk 一,)x:(t 卜,)xs(t 卜 z)a3Tk.3aaT 七“6a:TkI。幕函数7=a 二 b-1980 年一个供自动绘图机产生多种典型曲线的方法这里 a,b 为任意实数。可用如下方法组成能表达这种函数关系的线性矩阵方程。先写出它的参盆方程如下:xt=x=etx:”y=aebt由之可得笠
15、 1 二 Xl,主:=。beb,一恤:可见 u 二 0,写成方程(1)的形式时X 二 AX其中气 11nU 口 bILllUrweeeJ 一一 A初始条件为xx(0);x:(0)=a利用公式(2)可求得它的离散化矩阵方程如下,因为匕一 5nU 尸 l.LS一 A,一=S 一 100s 一 b0S 一 1(s 一 b)(s 一 1)、.1|l|矿 1S 一 11s 一 bf.|.111一一e:te:T 二;:草:)r 者洛 11一一于Ae所以因之得到宝(k+1)TLx:(k+1)TeT0r,.1一一!l 一这里可由 x:(kT),x,k(T)阵列构成所讨论的幂函数的采样值阵列。同样可利用公式(2 尹)求得它的变周期采样的离散化矩阵方程如下:厂 l 忍 llrJ=eTk00ebTkx(k 一)飞工:(tk 一 1)J、.产、.产.监盆条占产.、 、龟了、.人 2 又又尸 1.从这个例子我们还可以看到要求指数(或对数)函数的离散化矩阵方程是十分简单的。y 二 aebx运用此方法得到的幕函数起点是(1,a).50西北电讯工程学院学报第妈期则 r(+z)二 eby()。用爪),几上 T 阵列就组成了
