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1、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案 34 35 年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案 36 37 年全国初中数年全国初中数学联合竞赛试题及答案学联合竞赛试题及答案 38 39 40 41 年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案 42 43 44 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案45 46 47
2、 48 49 50 51 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 52 53 答案： 54 55 56 57 58 59 60 61 62 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 63 64 65 答案：答案： 66 67 68 年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案 69 70 答案：答案： 71 72 年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案 答案：答案： 73 74 2009 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一、选择题（
3、本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1. 设71a ，则32312612aaa （ ） A.24. B. 25. C. 4 710. D. 4 712. 2 在ABC 中， 最大角A 是最小角C 的两倍， 且 AB7， AC8， 则 BC （ ） A.7 2. B. 10. C. 105. D. 7 3. 3用 x表示不大于x的最大整数，则方程22 30xx 的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形 中任意取出两个，它们的面积相等的概率为
4、 （ ） A.3 14. B. 3 7. C. 1 2. D. 4 7. 5如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE， 则sinCBE （ ） A.6 3. B. 2 3. C. 1 3. D. 10 10. 6设n是大于 1909 的正整数，使得1909 2009n n 为完全平方数的n的个数是 （ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1已知t是实数，若, a b是关于x的一元二次方程2210xxt 的两个非负实根，则22(1)(1)ab
5、的最小值是_. 2 设 D 是ABC 的边 AB 上的一点，作 DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已 知ADE、DBF 的面积分别为m和n，则四边形 DECF 的面积为_. 3如果实数, a b满足条件221ab，22|1 2| 21ababa ，则ab_. 4已知, a b是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对( , )a b共有_对. 第一试答案：第一试答案： ACCBDB；3，2 mn，1，7 第一试第一试详细答案详细答案 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） DABCE1. 设71a ，
6、则32312612aaa （ ） A.24. B. 25. C. 4 710. D. 4 712. 【答】A. 由71a ，得282 762aa ，故226aa.所以 32223126123 (2 )6612aaaa aaaa2612126 6 1224aa . 2在ABC 中， 最大角A 是最小角C 的两倍， 且 AB7，AC8， 则 BC （ ） A.7 2. B. 10. C. 105. D. 7 3. 【答】C. 延长 CA 至 D，使 ADAB，则1D =ABD =CAB=C2，所以CBDDAB，所以BDCD=ABBD，故2BDABCD7 (8 7) 105 ，所以BD105.又因为
7、CD ，所以105BCBD. 3用 x表示不大于x的最大整数，则方程22 30xx 的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C. 由方程得232 xx ，而 xx，所以232xx ，即2230xx ，解得13x ，从而 x只可能取值1,0,1,2,3. 当 1x 时，21x ，解得1x ； 当 0x 时，23x ，没有符合条件的解； 当 1x 时，25x ，没有符合条件的解； 当 2x 时，27x ，解得7x ； 当 3x 时，29x ，解得3x . 因此，原方程共有 3 个解. 4设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构
8、成的所有三角形 中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ） A.3 14. B. 3 7. C. 1 2. D. 4 7. DBAC【答】B. 不妨设正方形的面积为 1.容易知道，以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的三角形都是等 腰直角三角形，它们可以分为两类： （1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有 4 个，它们的面积都为1 2； （2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 ABCD 的中心 O，这样的三角形也有 4 个，它们的面积都为1 4. 所以以五个点 A、B、C、D、O 为顶点可以构成 448 个三角形，从中任意取出两个，共有 28
9、种取法. 要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法 有 12 种. 因此，所求的概率为123 287. 5如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则sinCBE （ ） A.6 3. B. 2 3. C. 1 3. D. 10 10. 【答】 D. 设 BC 的中点为 O，连接 OE、CE. 因为 ABBC，AEOE，所以 A、B、O、E 四点共圆，故BAECOE. 又 ABAE，OC=OE，所以ABEOCE，因此CEOC1=BEAB3，即BE3 CE. 又 CEBE，所以22BC =
10、BE +CE =10CE，故sinCBECE10=BC10. 6设n是大于 1909 的正整数，使得1909 2009n n 为完全平方数的n的个数是 （ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 【答】B. 设2009na， 则1 9 0 9 1 0 01 0 012009na naa， 它为完全平方数， 不妨设为21001ma （其中m为正整数） ，则21001ma. 验证易知，只有当1,2,3,7m 时，上式才可能成立.对应的a值分别为 50，20，10，2. 因此，使得1909 2009n n 为完全平方数的n共有 4 个，分别为 1959，1989，1999，2007. 二、
11、填二、填空题（本题满分空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1已知t是实数，若, a b是关于x的一元二次方程2210xxt 的两个非负实根，则ODABCE22(1)(1)ab的最小值是_. 【答】【答】3. 因为, a b是关于x的一元二次方程2210xxt 的两个非负实根，所以 2( 2)4(1)0,10,2,tabtab 解得12t . 2222222(1)(1)()() 1()()21abababababab 22(1)42(1) 14ttt ， 当1t 时，22(1)(1)ab取得最小值3. 2 设 D 是ABC 的边 AB 上的一点，作 DE/BC 交 AC 于
12、点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已 知ADE、DBF 的面积分别为m和n，则四边形 DECF 的面积为_. 【答【答】 2 mn. 设ABC 的面积为S,则因为ADEABC，所以ADESAD ABS. 又因为BDFBAC，所以BDFSBD ABS. 两式相加得1ADEBDFSSADBD SSABAB，即1mn SS，解得2()Smn. 所以四边形 DECF 的面积为2()2mnmnmn. 3如果实数, a b满足条件221ab，22|1 2| 21ababa ，则ab_. 【答】【答】 1. 因为221ab，所以11, 11ab .由22|1 2| 21ababa 可得 2222|
13、1 2|21 121abbaaaaa 222aa ，从而2220aa，解得10a . 从而120ab， 因 此21222abaa ， 即22122(1)bab， 整 理得2230bb ，解得1b （另一根3 2b 舍去）. 把1b 代入212ba 计算可得0a ，所以1ab . FEBCAD4已知, a b是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对( , )a b共有_对. 【答】【答】 7. 设1515 2k ab（k为正整数） ，则2151515 4kkbaa，故15 a为有理数. 令2215q ap，其中, p q均为正整数且( , )1p q .从而2215aqp，所以2|15q，故1q ，所以151 ap. 同理可得151 bm（其中m为正整数） ，则11 2k pm. 又1,1mp，
