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1、第二章第二章 极限与极限与连续连续一、本章知一、本章知识识脉脉络络框框图图数列极限的定义收敛数列的基本性质收敛数列极限的计算柯西准则判定极限是否存在一元函数极限的定义一元函数极限的基本性质一元函数极限的计算连续函数的定义和性质归 结 原 则海 涅 定 理二元函数极限的定义二元函数极限的基本性质二、本章重点及二、本章重点及难难点点（一）（一）重点：重点：极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.（二）（二）难点难点运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.三
2、、本章的基本知三、本章的基本知识识要点要点本章符号说明：每一个或任给的；:至少有一个或存在；:：充分必要条件.（一）数列极限（一）数列极限1.1. 数列极限定义当时，有lim0,0,nnaaN nN.naa注：定义中的可不取整数，可以是Nnaa.naa定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性. 数列极限的等价定义:(1) 当时有 其中为某个正数. 0,0,N nN,naakk(2) 当时有其中与为某个正数. 0,0,cN nN,naakck2.2. 收敛数列的性质(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限.(2) 有界性定理：收敛的数列必定有界
3、. (3) 保号性定理：若则对任意 有 limnnaa ,(),rara或,NnN ,nar(或).nar(4) 保不等式性定理：若都存在，且则lim, limnnnnab ,nnNnNab 有，limlim.nnnnab (5) 迫敛性定理：设 数列满足：有 limlim.nnnnaba nc,NnN 则数列收敛，且nnnacb， nclim.nnca (6) 四则运算法则：lim,lim,i)lim();ii)lim;iii)lim,0,0.nnnnnnnnnnn nnnaabbabababa baabbbb设则其中(7) 与子列的关系：数列收敛数列的任何非平凡子列都收敛.nana3.3.
4、 数列极限存在的条件递增数列：121nnaaaaLL ；递减数列：121nnaaaaLL .(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.(2) 柯西收敛准则：0,|.nmNn mNaa （二）函数极限（二）函数极限1.1. 函数极限和非正常极限概念函数极限定义(通过对比加以理解)：(1) lim( )0,0,( ). xf xAkxkf xA 当时恒有(2) lim( )0,0,( ). xf xAkxkf xA 当时恒有(3) lim( )0,0,( ). xf xAkxkf xA 当时恒有(4) 00lim( )0,0,0,( ). xxf xAxxf xA 当时恒有(5)
5、00lim( )0,0,0,( ). xxf xAxxf xA 当时恒有(6) 00lim( )0,0,0,( ). xxf xAxxf xA 当时恒有上述左极限和右极限也可以写成和.0lim( ) xxf x 0lim( ) xxf x 0(0)f x 0(0)f x 定理：000lim( )(0)(0). xxf xAf xf xA 非正常极限定义（只列出 2 个，其余可以类似写出）：(1) 0lim( ) xxf x 00,0,0 |,( ).Mxxf xM 当时恒有(2) lim( ) xf x 0,0,|,( ).Mkxkf xM 当时恒有2.2. 函数极限的基本性质下面只以为代表来
6、说明，其余类型极限的性质可以类似写出. 0lim( ) xxf x (1) 唯一性定理：若存在,则极限唯一.0lim( ) xxf x (2) 局部有界性定理：若存在，则在的某个空心邻域内有界.0lim( ) xxf x ( )f x0x0 0()Ux(3) 局部保号性定理：若则(或),当0lim( ), xxf xA rA rA0,时，有(或).0 0(, )xUx( )f xr( )f xr(4)保不等性定理:设与都存在，且在某邻域内有0lim( ) xxf x 0lim( ) xxg x 0 0(; )Ux则( )( ),f xg x00lim( )lim( ). xxxxf xg x
7、(5) 迫敛性定理：设且在某邻域内有00lim( )lim( ), xxxxf xg xA 0 0(; )Ux则( )( ) ( ),f xh xg x0lim ( ). xxh xA (6) 四则运算法则：00000lim( ),lim( ),(1)lim( ( )( );(2)lim( )( );( )(3)lim,0.( )xxxxxxxxxxf xAg xBf xg xABf xg xA Bf xABg xB设则其中3.3.函数极限存在的条件(1) 归结原则（也称为海涅定理）：设在内有定义. 存在( )f x0 0(; )Ux0lim( ) xxf x 任意含于邻域且以为极限的数列极限
8、存在且相等.0 0(; )Ux0x,nxlim()nnf x (2) 柯西准则：设函数在邻域内有定义. 存在( )f x0 0(;)Ux0lim( ) xxf x 0, 正数有(),0 0, (; ),x xUx|( )( )|.f xf x4. 两个重要极限(1) 0sinlim1. xx x(2) 1lim(1).xxex由归结原则得1lim(1).nnen5. 无穷小量与无穷大量(1) 无穷小量定义：i) 设函数在某邻域内有定义. 若 则称为当( )f x0 0(; )Ux0lim( )0 xxf x ，( )f x时的无穷小量. 0xxii) 设函数在某邻域内有界，则称为当时的有界量.
9、( )g x0 0(; )Ux( )g x0xx由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量(2) 定理：其中是当时的无穷小.0lim( )( )( ), xxf xAf xAx ( )x0xx(3) 无穷小量阶的比较无穷小量是以 0 为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于 0 的速度有快有慢若无穷小量与满足，则称当时为的高阶无穷小量，fg 0lim0 xxf x g x0xxfg为的低阶无穷小量，记作（）特别，为当时的gf f xg x0xxf0xx无穷小量，记作（） ( )1f x0xx若存在正数和，使得在某邻域上有，则称无穷小量
10、与KL 0 0Ux ( )f xKLg xf为当时的同阶无穷小量特别当时，与必为同阶无穷小g0xx 0lim0( )xxf xcg xfg量若无穷小量与满足，则记作fg ( )f xLg x 0 0xUx特别，若 在某 内有界，则记为（ 0( ).f xO g xxxf 0 0Ux 1f xO）甚至当 时，也有（）0xx 0( )f xo g xxx f xO g x0xx若无穷小量与满足，则称与为当 时的等价无穷小量，fg 0lim1( )xxf x g xfg0xx记作（） f xg x0xx应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较例如，当 时，0x 和 都是无穷小量，但它们的
11、比1sinxx2x= 或 =21sinxx x11sinxx21sinxxx1sinxx当 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较0x 下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用定理： 设函数， 在邻域 内有定义，且有fgh 0 0Ux（） f xg x0xx) 若，则 0lim xxf x h xA 0lim; xxg x h xA ) 若，则 0lim xxh xBf x 0lim. xxh xBg x(4) 无穷大量定义：对于自变量的某种趋向（或时），所有以、或为非正常极xn 限的函数（包括数列），都称无穷大量定理：)设在内有定义且不等于 0若为当时的无穷小量，则f 0
12、0Uxf0xx为当时的无穷大量1 f0xx)若为当时的无穷大量，则为当时的无穷小量g0xx1 g0xx由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究（三）一元（三）一元函数的连续性函数的连续性1. 函数在点连续的定义: 设函数在的某邻域内有定义. 若0x f x0x则称函数在点连续. 00lim, xxf xf x f x0x若记 ，则 的等价叙述为 00,xxxyf xf x 00lim xxf xf x ，于是函数在 点连续的定义又可以写成: 0lim0 xy f x0x定义: 设函数在的某邻域内有定义. 若,则称在点连续. f x0x 0lim0 xy f x0x改用语言叙述，则 在
13、点连续可以定义为： f x0x定义: 设函数在的某邻域内有定义. 若对，使得当 f x0x0 0时，都有 则称在点连续.0xx 0f xf x ， f x0x2. 函数在点左、右连续的定义0x相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：0x定义: 设函数在的某左（右）邻域内有定义. 若（或 f x0x 00lim xxf xf x ）, 则称在左（或右）连续. 00lim xxf xf x f x0x定理: 函数在点连续在点既左连续又右连续. f x0x f x0x与上述定理等价的否定叙述：定理: 函数在点不连续在点或不左连续或不右连续. f x0x f x0x3. 函数的间断点（
14、不连续点）及其分类定义：设函数在某领域内有定义. 若在点无定义，或在点有定义f 0 0Uxf0x0x但不连续，则称点 为函数的间断点或不连续点.0xf由连续的定义知，函数在点不连续必出现如下 3 种情形之一: f x0xi），而在点无定义，或有定义但； 0lim xxf xA f0x 00lim xxf xAf x ii） 左、右极限都存在，但不相等；iii） 左、右极限至少一个不存在.据此，函数 的间断点可作如下分类： f xi） 可去间断点若（存在），而在点无定义，或有定义但 0lim xxf xA f0x，则称为可去间断点（或可去不连续点）. 00lim xxf xAf x 0xii）跳跃间断点若的左、右极限都存在，但不相等（即与 均存0)(xxf在点0(0)f x 0(0)f x 在，但），则称为的跳跃间断点.0
