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1、院 系 班级 姓 名 作业编号 1 第九章 曲线积分与曲面积分 作业作业作业作业 13 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 1计算d Lxs ，其中L为直线yx=及抛物线2yx=所围成的区域的整个边界 解：L可以分解为1:,1,0,1Lyx yx=及2 2:,2 ,0,1Lyxyx x= ()1211 2200ddd1 1 d12d L LLxsxsxsxxxxx=+=+()()111132 22220000121 225 512d14d 1414828 321212xxxxxx=+=+=+244 33d Lxys+，其中L为星形线33cos,sinxat yat
2、= =在第一象限内的弧02t 解：L为33cos,sin,0,2xat yat t= =223 cossin ,3 sincos ,3 sin cosdxdyattatt dsattdtdtdt= = 原式()4722 4422330031cossin3 sin cos1sin 2sin222attattdtattdt =+=()77722 23333003311 cos 2cos2cos2cos 2883at dtatta = +=+=3计算dxyz s，其中折线 ABC，这里 A，B，C 依次为点)3 , 4 , 1 (),3 , 2 , 1 (),0 , 0 , 0( 解：:,2 ,3
3、,0,1 ,14123xyzABxt yt zt tdsdt= :1,3,2,4 ,BC xzyt tdsdt= :,4 ,3 ,0,1 ,26143xyzCAxt yt zt tdsdt= 14023ddd2 3141314182ABBCxyz sxyz sxyz stttdttdt=+=+ =高等数学同步作业册 24()22dxyz s +，其中为螺线cos ,sin ,xtt ytt zt= =上相应于t从0变到1的一段弧 解：为2cos ,sin ,0,1 ,2xtt ytt zt tdst dt= =+ ()()11 2222222001d2(22) 222xyz sttt dttt
4、 d t += +=+()()153 222201 229 34 26 34 28 232222 5353155tt=+ +=5计算22dLxys+ ?，其中 L：0,22=+aaxyx 解：将 L 参数化，22cos ,sincos ,cos ,cos,xrt yrtrart rat xat= cos sin ,sin2,cos2,2 2yatt tdxatdt dyatdt dsadt = = =22 222222220 02dcos2cos2sin2Lxysatadtatdtata +=?6计算22edxyLs+ ?，其中 L 为圆周222ayx=+，直线xy =及x轴在第一象限内所围成
5、的扇形的整个边界 解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分 12:0,0,;:sin ,cos ,0,;4Lyxadsdx Lxat yat tdsadt=21232:,0,2;2aLyx xdsdt LLLL=+ 从而22242222200000ed24aaaaxyxaxxaxLase dxeadtedxeee+=+=+?112244aaaaaaaeeeee= + =+ 院 系 班级 姓 名 作业编号 3 作业作业作业作业 14 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 1计算下列第二型曲线积分： (1) ()()dd Lxyxxyy+ ?，其中L为按逆时针方向绕椭
6、圆22221xy ab+=一周； 解：L为cos ,sin , :02xat ybt t= 原式()()20sincossincoscossinat atbtbt atbtdt =+22222200sin2cos2sin2cos20224ababtababtt dtt+=+=(2) ()dd1 dx xy yxyz +，其中是从点()1,1,1到点()2,3,4的一段直线； 解：是111,1,12 ,1 3 , :012 13 14 1xyzxt yt zt t= += += +原式()()()1012 123 1121ttttdt=+ + +()()112006 146713t dttt=+
7、=+=(3) dddy xx yz +，其中是圆柱螺线2cos ,2sin ,3 xt yt zt=从0t =到 2t =的一段弧； 解：是2cos ,2sin ,3 , :02xt yt zt t= 原式()()202sin2sin2cos2cos3ttttdt =+()()220 0432dtt= += = (4) 计算曲线积分(12e )d(cose )dyyLxyxyxy+,其中L为由点 A (-1, 1)沿抛物线2yx=到点 O (0, 0), 再沿 x 轴到点 B (2, 0)的弧段 解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分 2:, : 10AO yxx= ；:0, :02OB
8、yx= 高等数学同步作业册 4原式2202 22010(12e )d(cose )2 dx(e )dxxxxxxxxx=+2202 32210(12e2 cos2e )ddxxxxxxxx=+()22200004211113sine dde21 sin1sin11xxxxxxxxee =+= +=+ 2 设力F的大小等于作用点的横坐标的平方， 而方向依y轴的负方向， 求质量为m 的质点沿抛物线21xy=从点()1,0移动到点()0,1时，力F所作的功 解：2220, 10,:1,:01Fxxdsdx dyL xyy= rr()()1135 2240028123515LLyyWFdsxdyyyd
9、yy= += += rr3把对坐标的曲线积分()(),d,d LP x yxQ x yy+化成对弧长的曲线积分，其中L 为： (1) 在xOy平面内沿直线从点()0,0到点()1,1； (2) 沿抛物线2yx=从点()0,0到点()1,1 解： （1）2:, :01,0;1 12L yx xdxdsdxdx=+= ()()()()()(),d,d,dds2LLLP x xQ x xP x yxQ x yyP x xQ x xx+=+=（2）22:, :01,0;14L yxxdxdsx dx=+ ()()()()()()222,2,d,d,2,dds 14LLLP x xxQ x xP x y
10、xQ x yyP x xxQ x xx x+=+=+院 系 班级 姓 名 作业编号 5 作业作业作业作业 15 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用 1填空题 (1) 设L是 三 顶 点 (0, 0), (3, 0), (3, 2) 的 三 角 形 正 向 边 界 , (24)d(536)d Lxyxyxy+= ?12 (2) 设曲线L是以) 1, 0(),0 , 1(),1 , 0(),0 , 1 (DCBA为顶点的正方形边界， ddLxy xy+ + ?不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_ （3） 相应于曲线积分( , , )d( , , )d
11、( , , )d LP x y zxQ x y zyR x y zz+的第一型的曲线积分是( , , )3 ( , , )ds5LP x y zR x y z+ 其中L为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段 2 计 算33(e sin)d(e cos)dxxLIyyxyxy=+, 其 中L是 沿 半 圆 周22xay= 从点), 0(aA到点), 0(aB的弧 解：L 加上:0, :BA xx aa= 构成区域边界的负向 ()3322(e sin)d(e cos)d3cosa xxL DaIyyxyxyxydydy =+= +342 30233cos2sin4aaaadr dr
12、ydya= += +3计算e31 de33 dxyxyLyxyxxxyy+?,其中L为椭圆 22221xy ab+=正向一周 解：原式()()e33e31xyxyDxxyyxydxdyxy=+44Ddxdyab=高等数学同步作业册 64计算曲线积分( )sind( )cosd , LIfxy xf xyxy=+其中)(xf 为连续函数，L是沿圆周222(1)()1xy+= +按逆时针方向由点(2,2)A到点)0 , 0(O 的一段弧 解：令1:, :02Lyx x= 则，原式()111( )sind( )cosd L LLL DIdxdyfxy xf xyxy +=+ ()2 2201( )s
13、in( )cosd2fxxf xxxx= +()()2224 2222031( )sin1222222xf xx= += +=5计算22ddLx yy x xy +?,其中L为 （1）圆周()()22111xy+=（按反时针方向） ； 解： ()()222222222222222xxyxxyxy xxyyxyxyxy+ =+，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式0= （2）闭曲线1xy+=（按反时针方向） 解： ()()222222222222222xxyxxyxy xxyyxyxyxy+ =+，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周220.01xy+=（1L也按反时针方向） ，在圆环域上用格林公式得， 原式()1122dddd1001 120.01LL Dx yy xx yy xdxdyxy=+=+?6证明下列曲线积分在xOy平面内与路径无关,并计算积分值： （1）() ()(),0,0ecos dsin da bxy xy y； 解：由于()()e sine sine cosxxxyyyxy= =在全平面连续，从而该曲线积分院 系 班级 姓 名 作业编号 7
