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1、1高等数学方明亮版第十一章答案习 题 11-11判断下列方程是几阶微分方程？（1）； （2）；2 3dtan3 sin1dyytttt(76 )d()d0xyxxyy（3）； （4）2()20x yyyx422()0xyyx y 解 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的 阶所以有， （1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1），；2xyy25yx（2），；0yy3sin4cosyxx（3），；20yyy2exyx（4），2()()20xyx yx yyyyln()yxy
2、解 （1）将代入所给微分方程的左边，得左边，而右边210yx210x2(5)x左边，所以是的解210x25yx2xyy（2）将，代入所给微分方程的左边，得左边3cos4sinyxx3sin4cos yxx 右边，所以是所给微分方程( 3sin4cos )(3sin4cos )0 xxxx3sin4cosyxx 的解0yy（3）将，代入所给微分方程的左边，2exyx22 eexxyxx22e4 eexxxyxx 得 左边（右边） ，222(2e4 ee )2(2 ee )e2e0xxxxxxxxxxxx所以不是所给微分方程的解2exyx20yyy（4）对的两边关于求导，得ln()yxyx，1yy
3、xy即 xyyyxy 再对求导，得x，2()yyx yxyyyyxy即 ，2()()20xyx yx yyyy所以是所给微分方程的解ln()yxy2()()20xyx yx yyyy 3确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件 （1）， ； （2），22xyC05xy2 120()e,0x xyCC xy01xy解 （1）将，代入微分方程，得0x5y2220525 C 所以，所求函数为2225yx（2），将，分别代222 212122e2()e(22)exxxyCCC xCCC x00xy01xy入 和，2 12()exyCC x2 122(22)exyCCC x 得 ，10C
4、21C所以，所求函数为2exyx4能否适当地选取常数，使函数成为方程的解exy90yy解 因为，所以为使函数成为方程 的解，只exy2exyexy90yy 须满足 ，2e9e0xx即 2(9)e0x而，因此必有，即或，从而当，或时，函数e0x29033 33 均为方程的解33e,exxyy90yy5消去下列各式中的任意常数，写出相应的微分方程12,C C C（1）； （2）；2yCxCtanyxxC（3）； （4）12eexxxyCC2 12()yCC x 解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独 立常数的式子对应于二阶微分方程 （1）由两边对求导，得2yCxC
5、x ，yC代入原关系式，得所求的微分方程为2yCxC2() yxyy（2）由两边对求导，得tan()yxxCx，2tan()sec ()yxCxxC 即 2tan()tan ()yxCxxxC而，故所求的微分方程为tan()yxCx，2yyyxxxx 化简得 22xyyxy（3）由两边对求导，得12eexxxyCCx，12eexxyxyCC 两边再对求导，得x ，12eexxyyxyCC3这样便可得所求的微分方程为 2xyyxy（4）由两边对求导，得2 12()yCC xx，122()yCyC将代入上式，并化简得2 1 2()yCCx ，12xyyC 对上式两边再对求导，得x ，22yxyy
6、故所求的微分方程为 20xyy习 题 11-21求下列微分方程的通解或特解： （1）； （2）；ln0xyyycos sinsin cos0xydxxydy（3）； （4）；22()yxyyy(1)d()d0xyxyxyy（5），； （6），23yyxyx 01xy22 sin d(3)cos d0xy xxy y16xy解 （1）分离变量，得，11ddlnyxyyx 两端积分，得 ，ln(ln )lnlnyxC 即 ，lnyCx 所以原方程的通解为 eCxy注 该等式中的与等本应写为与等，去绝对值符号时会出现号；但这些xC|x|C 号可认为含于最后答案的任意常数中去了，这样书写简洁些，可避开
7、绝对值与正负C 号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理 （2）原方程分离变量，得，coscosddsinsin yxyxyx 两端积分，得 ，ln(sin )ln(sin )ln yxC 即 ，ln(sinsin )lnyxC 故原方程的通解为 sinsinyxC （3）原方程可化成4，2d(1)2dyxyx 分离变量，得，212dd1 yxyx两端积分，得 ，12ln(1) xCy 即 1 2ln(1)yxC 是原方程的通解 （4）分离变量，得，dd11yxyxyx 两边积分，得 ，ln(1)ln(1)lnyyxxC 即 e(1)(1)y xCy x 是原方程的通解 （5）
8、分离变量，得，2dd31yyx xy 两端积分，得，2211ln(31)ln62yxC即211 262(31)exyC由定解条件，知01xy，即，1 6(3 1)C1 62C 故所求特解为，即2111 2662(31)2xye223312e xy（6）将方程两边同除以，得2(3)sin0xy，22cosdd03sinxyxyxy 两端积分，得，122cosdd3sinxyxyCxy 积分后得 （其中） ，2ln(3)ln(sin )lnxyC1lnCC 从而有5，2(3)sinxyC代入初始条件，得16xy4sin26C因此，所求方程满足初始条件的特解为 ，2(3)sin2xy 即 2arcs
9、i3n2yx 2一曲线过点在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方0(2,3)M 程 解 设曲线的方程为，过点的切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为( )yy x( , )M x y 及，则点就是该切线的中点于是有(2 ,0)Ax(0,2 )By( , )M x yAB，即，且，2 2 yyxxyy (2)3y分离变量后，有，11dd yxyx 积分得 ，lnlnlnyCx 即Cyx 由定解条件，有23xy，6C故为所求的曲线6yx 3一粒质量为 20 克的子弹以速度（米/秒）打进一块厚度为 10 厘米的木板，0200v 然后穿过木板以速度（米/秒）离开木板若该木板对子弹的阻力与运
10、动速度的平180v 方成正比（比例系数为 k） ，问子弹穿过木板的时间 解 依题意有 ，2d d vmkvt0200tv即 ，21ddkvtvm 两端积分得， （其中 20 克0.02 千克） ，1 0.02kktCtCvm 代入定解条件，得0200tv6，1 200C故有200 100001vkt 设子弹穿过木板的时间为秒，则T02000.1d100001Ttkt0200ln(100001)10000T ktk，1ln(100001)50kTk 又已知时，米/秒，于是tT180vv，20080100001kT 从而， ，0.00015kT 为此有 ，0.1ln(1.51)500.00015T
11、所以 （秒） ，0.10.0075ln2.5T0.000750.00080.9162故子弹穿过木板运动持续了（秒） 0.0008T 4求下列齐次方程的通解或特解：（1）； （2）；220xyyyx22()dd0xyxxy y（3）； （4）；332()d3d0xyxxyy(12e )d2e (1)d0xx yyxxyy（5），； （6）， 22d dyxxyyx11xy22(3)d2d0yxyxy x01xy解 （1）原方程变形，得，2 1yyyxx令，即，有，则原方程可进一步化为yuxyuxyuxu，21uxuuu 分离变量，得， 211dd 1 uxxu 两端积分得，2ln(1)lnlnu
12、uxC 即 7，21 uuCx将代入上式并整理，得原方程的通解为yux222yyxCx（2）原方程变形，得，即22d dyxy xxy2 1d dx xyy x y令，即，有，则原方程可进一步化为yuxyuxyuxu，21uuxuu 即 ，1ddu uxx 两端积分，得 ，2 11ln2uxC将代入上式并整理，得原方程的通解为yux（其中） 22(2ln)yxxC12CC（3）原方程变形，得，即，332d d3yxy xxy32d1() d3()yy x xy x令，有，则原方程可进一步化为 yuxdd ddyuuxxx，32d1 d3uuuxxu 即 ，3231dd12uuxux 两端积分，得 ，311ln(12)lnln22uxC即 ，23(12)xuC将代入上式并整理，得原方程的通解为yux 332xyCx（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以为变量的x y8函数，故令，即，有，则原方程可化为xuyxuydd ddxuuyyy，d()(12e )2e (1)0du
