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1、20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）数学（文） （北京卷）（北京卷）第第卷卷（选择题 共 140 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 集合，则=203,9PxZxMxZ xPMI(A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)1,2,3 (D)0,1,2,3 在复平面内，复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对 应的复数是（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i 从1,2,3,4,5中随机选取一个
2、数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率 是（A） (B) （C） (D)4 53 52 51 5若 a,b 是非零向量，且，则函数是abab( )() ()f xxabxba（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 （5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为：(6)给定函数，期中在区间1 2yx1 2log (1)yx|1|yx12xy（0，1）上单调递减的函数序号是 （A） （B） （C） （D）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图） ，它
3、由腰长为 1， 顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（A）； （B）2sin2cos2sin3cos3（C） （D）3sin3cos12sincos1（8）如图，正方体的棱长为 2，1111ABCD-A B C D动点 E、F 在棱上。点 Q 是 CD 的中点，动点11A BP 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x，E=y(x,y 大于零)，1A则三棱锥 P-EFQ 的体积： （A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关； （C）与 x 有关，与 y 无关； （D）与 y 有关，与 x 无关；第第卷卷（共 110 分） 二填空题：本大题共 6 小题，
4、每小题 5 分，共 30 分（9）已知函数右图表示的是给2log,2, 2,2.x x x xy 定 x 的值，求其对应的函数值 y 的程序框图， 处应填写 ；处应填写 。（10）在中。若，则 a= 。ABC1b 3c 2 3c （11）若点 p（m，3）到直线的距离为 4，且点 p 在不等式34310xy 2xy表示的平面区域内，则 m= 。 （12）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 。 由图中数据可知 a= 。若要从身高在 120，130，130，140，140，150三组内的 学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动
5、，则从身高在140，150内的学生中选取的人数 应为 。（13）已知双曲线的离心率为 2，焦点与椭圆的焦点相同，22221xy ab22 1259xy那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。（14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ；( )yf x( )f x在其两个相邻零点间的图像与 x 轴( )yf x所围区域的面积为 。 说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正 方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再
6、以顶点 B 为中 心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。 三解答：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共 13 分）已知函数2( )2cos2sinf xxx（）求的值；()3f（）求的最大值和最小值( )f x（16） （本小题共 13 分）已知为等差数列，且，。|na36a 60a （）求的通项公式；|na（）若等差数列满足，求的前 n 项和公式|nb18b 2123baaa|nb（17） （本小题共 13 分） 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。EF/AC，AB
7、=,CE=EF=12（）求证：AF/平面 BDE； （）求证：CF平面 BDF;(18) （本小题共 14 分）设定函数，且方程的两个根分别为32( )(0)3af xxbxcxd a( )90fxx1，4。（）当 a=3 且曲线过原点时，求的解析式；( )yf x( )f x（）若在无极值点，求 a 的取值范围。( )f x(,) （19） （本小题共 14 分）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线(2,0)( 2,0)6 3椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。（）求椭圆 C 的方程； （）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标；（）设
8、Q（x，y）是圆 P 上的动点，当变化时，求 y 的最大值。（20） （本小题共 13 分）已知集合对于121|( ,),0,1,1,2, (2)nnSX Xx xxxin n ，定义 A 与 B 的差为12(,)nAa aa12( ,)nnBb bbS1122(|,|,|);nnABabababA 与 B 之间的距离为11 1( , )|id A Bab（）当 n=5 时，设，求，；(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)ABAB( , )d A B（）证明：，且;, ,nnA B CSABS有(,)( , )d AC BCd A B() 证明：三个数中至少有一个是偶数, , ( ,
9、), ( ,), ( ,)nA B CSd A B d A C d B C绝密使用完毕前 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）数学（文） （北京卷）（北京卷） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） B C D A C B A C 二、提空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 12x 2logyx -3 0.030 3 () 4 4,030xy1三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （共 13 分）解：（）=22()2cossin333f31144 （）22( )2(2cos1)(1 co
10、s)f xxx23cos1,xxR因为,所以，当时取最大值 2；当时，cos1,1x cos1x ( )f xcos0x 去最小值-1。( )f x（共 13 分）解：（）设等差数列的公差。nad因为366,0aa 所以 解得112650adad 110,2ad 所以10(1) 2212nann （）设等比数列的公比为 nbq因为212324,8baaab 所以 即=3824q q所以的前项和公式为 nbn1(1)4(1 3 )1n n nbqSq（共 13 分）证明：（）设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EFAG,且 EF=1，AG=AG=11 2所以四边形 AGEF 为平行四边形所以
11、AFEG因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE,所以 AF平面 BDE（）连接 FG。因为 EFCG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形。所 以 CFEG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面 ACEF平面 ABCD=AC,所以 BD平面 ACEF.所以 CFBD.又 BDEG=G,所以 CF平面 BDE. (18)(共 14 分)解：由 得 32( )3af xxbxcxd2( )2fxaxbxc因为的两个根分别为 1,4，所以 2( )9290fxxaxbxcx 290168360abcabc （*）（）当
12、时，又由（*）式得3a 260 8120bc bc 解得3,12bc 又因为曲线过原点，所以( )yf x0d 故32( )312f xxxx（）由于 a0,所以“在（-，+）内无极值点”等价于“32( )3af xxbxcxd在（-，+）内恒成立” 。2( )20fxaxbxc由（*）式得。295 ,4ba ca又2(2 )49(1)(9)bacaa 解 得09(1)(9)0aaa 1,9a即的取值范围a1,9（19） （共 14 分）解：（）因为，且，所以6 3c a2c 223,1abac所以椭圆 C 的方程为2 213xy（）由题意知(0, )( 11)ptt 由 得2 213ytxy
13、23(1)xt 所以圆 P 的半径为23(1)t解得 所以点 P 的坐标是（0，）3 2t 3 2（）由（）知，圆 P 的方程。因为点在圆 P 上。所以222()3(1)xytt( , )Q x y2223(1)3(1)yttxtt 设，则cos ,(0, )t 23(1)cos3sin2sin()6tt当，即，且，取最大值 2.31 2t 0x y(20)(共 13 分)（）解：=（1,0,1,0,1）(0 1,1 1, 0 1, 00 ,1 0)AB=3( , )0 11 10 1001 0d A B ()证明：设121212(,),( ,),( ,)nnnnAa aaBb bbCc ccS因为，所以11,0,1a b 110,1(1,2, )abin从而1122(,)nnnABabababS由题意知,0,1(1,2, )iiia b cin当时，0ic iiiiiiacbcab当时，1ic (1)(1)iiiiiiiiacbcabab所以1(,)( , )nii id AC BCabd A B()证明：设121212(,),( ,),( ,)nnnnAa aaBb bbCc ccS( , ), ( ,), ( ,
