力矩迭代法的基本概念

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1、一一 力矩迭代法的基本概念力矩迭代法的基本概念力矩迭代法常简称为迭代法。如同力矩分配法一样，它也是以位移法为基 础的一种渐近解法，也是以杆端弯矩作为运算对象，杆端弯矩也采用相同的正 负号规定。两者的区别是：在每次渐近运算中，力矩分配法计算的是杆端弯矩 新添的增量，力矩迭代法计算的是杆端弯矩全量的新一轮近似解。此外，力矩 分配法一般只用于解无侧移刚架，力矩迭代法科用于解无侧移和有侧移的刚架。本节先以无侧移刚架为例说明力矩迭代法的基本概念。 1. 转角弯矩 图 1a 所示为无结点线位移的刚架中任一等截面杆件 AB，杆端弯矩公式为（a）4224ABABABBAABBAMiImMiIm 这里是杆的线刚

2、度，m 是固端弯矩（图 1b） 。EIil定义杆端转角弯矩如下（图 1c 和 d）：（b）44ABABABMiMIABMBAMlABABBAmABm(a)(b)A(c)4ABAMi1 2ABM1 2BAMB BAM(d)AB(e)DCE图 1和称为 AB 杆在 A 端和 B 端的转角弯矩。注意，某端转角弯矩是 ABM BAM指由该端转角在该端引起的弯矩。例如，由近端转角引起的近端弯矩称为近端 转角弯矩，由远端转角引起的远端弯矩称为远端转角弯矩。 至于有某端转角在他端引起的弯矩则可利用传递系数由该端转角弯矩导出， 其值为该端转角弯矩乘以由该端到他端的传递系数。当他端为刚结时，则为该 端转角弯矩的

3、一半。例如，由近端转角在远端引起的弯矩等于近端转角弯矩之半，由远端转角在近端引起的弯矩等于远端转角弯矩之半。 将式（b）代入式（a） ，就得到以两端转角弯矩表示的杆端弯矩的公式如下：（1）1 2 1 2ABABBAABBABAABBAMMMmMMMm 即杆件某端弯矩 = 该端转角弯矩 + （他端转角弯矩）+ 该端固端弯矩1 22. 转角弯矩的迭代公式 根据结点力矩平衡条件，再引入分配系数的概念，可导出关于转角弯矩的 迭代公式。 首先，在无结点线位移刚架中取结点 A 作隔离体，可写出力矩平衡方程 （图 1e）0ABACADAEMMMM可简写为(c)0Aj AM这里表示与结点 A 相连的任一杆，表

4、示对交于 A 点的所有各杆求和。AjA将式（1）的第一式代入式（c） ，得102AjjAAj AAAMMm引用符号(2)AAj Amm表示交于结点 A 的各杆在 A 端的固端弯矩之和。于是，结点 A 的力矩平衡Am方程可表示为（d）1 2AjjAA AAMMm 其次，考虑到在刚结点 A 处相连各杆的杆端转角彼此相等，由式（b）A可知（e）44AjAjAAjAjAjAjA AAAMiiMii令 Aj Aj Aj Aii（3）称为杆的转角弯矩分配系数(结点分配系数)。式（e）可写成AjAj（f） AjAjAj AMM相交于 A 点的各杆的 A 端转角弯矩等于结点 A 的总转角弯矩按分 AjM Aj

5、 AM配系数分配给各杆，而分配系数等于杆的线刚度与交于 A 点的各杆线AjAjAj刚度之和的比值。同一结点各杆转角弯矩分配系数之和应等于 1，即（g）1Aj A最后，将式（d）代入式（f） ，得（4）1 2AjAjjAA AMMm 式（4）即为无结点线位移刚架的转角弯矩的迭代公式，此式对刚架中的任一结 点 A 都适用。对于结点 A 来说，式（4）的左边是杆的近端转角弯矩，右边则 与远端转角弯矩和结点不平衡力矩有关。应用迭代公式（4）时，先将前一轮已 经求出的远端转角弯矩代入公式右边，于是就求出新一轮的近端转角弯矩。 3. 计算步骤 用力矩迭代法计算无结点线位移刚架的步骤可归纳如下： （1）计算

6、由载荷产生的各杆的固端弯矩，由式（2）求出各结点的不平衡弯矩。Am（2）用式（3）计算刚结点处各杆的转角弯矩分配系数。（3）用迭代公式（4）求各杆的（近端）转角弯矩。在第一轮，可设远 AjM端转角弯矩为零，由式（4）求得转角弯矩的第一轮近似解。在以后各轮，远端 转角弯矩采用前一轮的近似值，由式（4）求得转角弯矩的新的近似值。经过多 次迭代计算，直至各杆转角弯矩的值趋于稳定为止。 （4）最后一步是用式（1）计算各杆端的最后弯矩。 最后说明一下力矩迭代法和力矩分配法的关系。 现以力矩分配法的观点重新解释一下力矩迭代法的主要迭代公式（4） 。式（4）右边括号内的第二项为结点 A 由载荷作用产生的不平

7、衡弯矩，第一项Am为点传来的传递弯矩（端转角弯矩的一半） ，所以括号内为结点 A 的总不平jj 衡力矩。为使 A 点平衡，需在 A 点施加负值的不平衡力矩，然后按各杆的弯矩分配系数分配给各杆，得各杆的分配弯矩（即转角弯矩） 。从以上的解Aj AjM释可以看出，力矩迭代法与力矩分配法在原理上是一样的，都是以位移法作为理论基础、以杆端弯矩表示的渐近解法。但在具体计算时，两者又有区别，在 力矩迭代法的迭代公式（4）中，计算的是转角弯矩的全值；而在力矩分配法中， 每一次计算的是分配弯矩（和传递弯矩）的增量。当渐近过程结束时，在力矩 迭代法中杆端转角弯矩应趋于稳定；而在力矩分配法中分配弯矩的增量应趋于

8、零。二二 力矩迭代法计算有侧移的刚架力矩迭代法计算有侧移的刚架本节进一步将力矩迭代法用于计算有侧移刚架，基本思路与上节相同，但 需补充考虑结点线位移的影响及其计算方法。 1、转角弯矩和位移弯矩 在有结点线位移的刚架中，任一等截面杆件 AB（图 2a、b）的杆端弯矩公 式为（5）1 2 1 2ABABBAABABBABAABBABAMMMMmMMMMm 与式（1）相比，上式右边增加了一项和，它们是由于杆件两端有相对ABMBAM位移而产生的杆端弯矩，称为位移弯矩：AB6AB ABBA ABiMMl 式（5）可用文字表述如下：杆件某端弯矩=该端转解弯矩+（他端转角弯矩）+该端位移弯矩+该端固1 2

9、端弯矩其中转角弯矩表示结点角位移的影响，位移弯矩表示结点线位移的影响， 固端弯矩表示结点完全被约束时荷载作用的影响。ECABD(a)(c)ECABD(b)(d)MABMBAABABhABAB图 2 在有侧位移刚架中，由于存在结点角位移和线位移两类基本未各量，存在 转角弯矩和位移弯矩两类未知杆端弯矩，因此需应用结点力矩平衡和楼层截面 水平力平衡两类平衡方程导出关于转角弯矩和位移弯矩的两类迭代公式。 2、转角弯矩的迭代公式 上节根据结点力矩平衡方程和转角弯矩分配系数的概念导出了无侧移情况 的转角弯矩迭代公式（4）现在按照同一思路导出有侧移情况的转角弯矩迭代公 式。 首先，取结点 A 为隔离体（图

10、2c） ，写出力矩平衡方程0Aj AM即 102AjAjAj AAAMMm由此得 1()2AjjAAjA AASMMMm 其次，根据式（3） ，引入转角弯矩分配系数，可由结点 A 的总转角弯矩求出 Aj 杆的 A 端转角弯矩，即Aj AMAjM（6）1()2AjAjAj AAjjAAjA AAMMMMm 式（6）是有侧移刚架的第一类迭代公式，此式用于求新一轮的杆端转角弯矩。 3、位移弯矩的迭代公式 根据楼层截面水平力平衡条件和位移弯矩分配系数的概念可导出关于位移 弯矩的迭代公式。 图 2d 表示沿第 层各柱柱顶作一截面所得的隔离体。考虑作用于些隔离体上各水平力的平衡，可得0X （a）0ABPQ

11、式中为第 层柱顶截面以上所有水平荷载的总和，称为楼层剪力，P水平荷载以向右为正； 为第 层力各柱柱顶截面剪力之和。ABQ作用于柱 AB 的杆端剪力为0ABBA ABAB ABMMQQh式中表示该柱在两端简支情况下由荷载产生的剪力。0 ABQ将杆端弯矩公式（5）代入上式，得0()133(2)22ABBA ABABABBAAB ABABmmQQMMMhh令表示柱 AB 的固端剪力，即ABQ（7）01()ABABBAAB ABQQmmh则有133(2)22ABABBAABAB ABQQMMMh将 QAB代入式（a） ，则截面水平平衡方程可写为（b）133(2)022ABBAABAB ABPQMMMh

12、因为第 层内各柱的高度相同， （即：同层同高）均为，即；由hABhh式（b） ，有（c）3 2()4 3ABABBAABMhPQMM 为了表达简明，再引入以下符号（8）2()3ABmhPQ 这里称为第 层的楼层力矩。m式（c）变为3 4ABABBAMmMM 由上式可以求出第 层内所有各柱的位移弯矩之和。因为，而在一楼层内为一常数，故分配到该层各柱内的位6/ABABMih /ABh移弯矩与其相对 i 值成正比。因此有3()4ABABABABABBAMMmMM 式中ABABABi i为 AB 杆的位移弯矩分配系数。在同一层内各柱位移弯矩分配系数之和应为 1. 下面为了迭代运算的方便，将上两式改写为

13、（9）()ABABABBAMmMM 式中 3 4AB AB ABi i（10）称为 AB 杆修正后的位移弯矩分配系数（侧移分配系数） ，以后就称为位移AB弯矩分配系数。这样，在同一层内各柱修正的位移弯矩分配系数之和变为 3/4。 式（6）和式（9）即为有结点线位移刚架的转角弯矩和位移弯矩的迭代公 式。注意注意：若第 层内各柱的高度不相同（即：同层不同高） ，此时可选择多数相等的柱高为标准柱（层）高，并引入层高影响系数：，则（9） ， （10）r ij ijh l两式变为：（9）()ABABijABBA rMmMM （10）234ijAB AB ijAB rii按照上面的公式，用力矩迭代法计算有

14、结点线位移刚架的步骤可表述如下按照上面的公式，用力矩迭代法计算有结点线位移刚架的步骤可表述如下：（1）计算由荷载产生的各杆的固端弯矩，由式（2）求出各结点的不平衡弯矩；由式（7）计算由荷载产生的各柱的固端剪力，由式（8）求出各层的Am缕层力矩。 （2）用式（3）计算结点处各杆的转角弯矩分配系数；用式（10）计算各 层各柱的位移弯矩分配系数。 （3）用式（6）计算各杆的转角弯矩，用式（9）计算各柱的位移弯矩。这 里是交替地运用这两个式子进行演算，即逐次迭代；直至达到所需精度时为止。迭代的的顺序可以任意。但通常仍按一定的顺序，如无水平荷载作用时， 常先从计算转角弯矩开始；当有水平荷载作用时，则常先从计算位移弯矩开始； 并均按照一定的结点和楼层顺序进行。 （4）最后，用式（5）计算各杆的杆端弯矩。 迭代法计算公式汇总：迭代法计算公式汇总：(2) 结点不平衡弯矩；AAj Amm层高影响系数，为标准柱（层）高；r ij ijh lrh（3） 结点分配系数Aj Aj Aj Aii（10） 侧移分配系数234ijAB AB ijAB rii（8） 楼层弯矩2()3ABmhPQ 其中为外水平力