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1、多元函数微分学章节复习本章教学要求：本章教学要求： 1 1知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义 域。域。 2 2熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。 3 3熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函 数的偏导数。数的偏导数。 4 4能熟练地求全微分。能熟练地求全微分。 5 5了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件， 掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极
2、值应用问题。例题讲解：例题讲解： 一、填空题一、填空题 1函数的定义域是_。2如果 f(xy，xy)xy，则 f(x，y)_。 3设 zln(xy)，则 dz_。4二元函数的定义域是_。5设 ，则 dz_。6设 z(1xy)x，则_。7设 f(x，y)ln(xexy)，则 _。8函数的定义域是_。9函数的定义域是_。10设 zf(u，v)，uxy，则_。11设 ezxyz0，则_。分析与解答：分析与解答：1函数的定义域是_。1要使函数有意义，必须：，即因此，该函数的定义域是 D(x，y)；x2y21，| y | x |，x0 2如果 f(xy，xy)xy，则 f(x，y)_。2令 ，则，即有，
3、故 3设 zln(xy)，则 dz_。3， 故 4二元函数的定义域是_。4要使函数有意义，必须：，即因此，该函数的定义域是 D(x，y)；2xy2，xy0，xy1 5设 ，则 dz_。5， ，故6设 z(1xy)x，则_。6相对 y 来说，x 是常数，故 z 可以分解为：zux，u1xy，则 7设 f(x，y)ln(xexy)，则 _。78函数的定义域是_。8要使函数有意义，必须：，即定义域为：(x，y)；y0，xy0 9函数的定义域是_。9要使函数有意义，必须：，即 故该函数的定义域为：(x，y)；xy0，x2y21 10设 zf(u，v)，uxy，则_。1011设 ezxyz0，则_。11
4、设 ，则 ， ， 故 二、单项选择题二、单项选择题 1设 z(2x1)3y2，则（ ） 。A. (3y2)(2x1)3y1 B. 2(3y2)(2x1)3y1 C. (2x1)3y2ln(2x1) D. 3(2x1)3y2ln(2x1)2设 zln(xy)，则 （ ） 。A. dxdy B. dxdy C. dxdy D. dxdy3设，则（ ） 。A. B. C. D. 4下列说法正确的是（ ） 。 A. 可微函数 f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有 B. 函数 f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有 C. 若 ，则函数 f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值D.
5、若 或 有一个不存在，则函数 f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值5设 zuv，xuv，yuv，若把 z 看作 x，y 的函数，则（ ） 。A. B. C. 2x D. x分析与解答：分析与解答： 1对 y 来说，z 是 y 的指数函数，可分解为：z(2x1)u，u3y2，由复合函数求导法则，得，即 D 正确。 2，即 B 正确。 3，即 D 正确。 4函数取得极值的点可能是不可导点，因此 B 不正确；驻点未必是极值点，因此 C 也不正确；偏导数是否存在，与函数不取得极值没有必然的关系，故 D 也不正确。总之， 只有 A 才正确。 5由题设，故，即 A 正确。 三、计算题三、计算题 1
6、设 zln(uv2)， ，vxy，求：解法一：解法一： ， 解法二：解法二： 因为 所以 ，2设函数 zf(x，y)由方程 所确定，求解法一：解法一： 设 则 ，故 解法二：解法二： 方程两边对 x 求偏导数，得：即 ，故 方程两边对 y 求偏导数，得：即 ，故 3设，求解：解： 设 zf(u，v)，ux2y，则 4表面积为 S 的长方体箱子中（箱子无盖） ，求体积最大者的边长。 解：解： 设长方体的边长分别为 x，y，z，于是长方体的体积为 Vxyz 已知 xy2(xzyz)S 又设 F(x，y，z，)xyz(xy2xz2yzS) 求 F(x，y，z，) 对各变量的偏导数，并令其为零，得方程组： 由 (1)x(2)y，得 由于 ，z 不能为零，故得 xy0，xy 由 (2)y(3)z，得 ，y2z 将 xy2z 代入（4） ，得于是由于只有这一个驻点，且已知该问题一定存在最大值，故此驻点即为最大值点，即当边长分别为时，体积最大。 5直角平行六面体的长、宽、高之和为定数 a，求其最大体积。 解：解： 设平行六面体的长、宽、高分别为 x、y、z 依题意 xyza Vxyz 又设 F(x，y，z，)xyz(xyza) 令 解得唯一驻点，为最大值点，即当长、宽、高均为时，其体积最大，这时，
