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1、高中数学新课程人教高中数学新课程人教 A 版必修版必修 5解读与教学建议解读与教学建议奉港高奉港高级级中学中学 杨杨亢亢尔尔（ （315500） ）本模块包括“解三角形” 、 “数列” 、 “不等式”等三章内容，全书约需 36 课时，具体课时分配如下：第一章 解三角形 约 8 课时第二章 数列 约 12 课时第三章 不等式 约 16 课时“解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理，及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。“数列”的主要内
2、容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。“不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系，帮助学生理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值，进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式组表示平面区域，以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法，最后引导学生讨论了基
3、本不等式及其简单应用。第一章第一章 解三角形解三角形在本章中，要求学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。1、内容与课程学习目标、内容与课程学习目标本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2、教学要求、
4、教学要求(浙江省浙江省数学学科教学指导意见数学学科教学指导意见2007 年年 6 月版，下同月版，下同)2.1基本要求基本要求 （1）会证明正弦定理、余弦定理。 （2）能理解正、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用。 （3）能用正、余弦定理解斜三角形。 （4）理解用正、余弦定讨论三角形解的情形。（5）掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法。 （6）通过解三角形在实际中的一些应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。 （7）理解三角形的面积公式并能应用。 CabSsin21（8）根据实际条件，利用本章知识完成一个有关测量的实习作业。 2.2发展要求发展要求 （1）了解正、余弦定理与三角形外接圆半径的
5、关系。 （2）利用正、余弦定理讨论三角形中的边角关系。 （3）条件允许的情况下，可多做几个实习作业，以培养学生应用知识解决实际问题的能力。 2.3说明说明(1)可以利用计算机进行近似计算,但不要求太复杂繁琐的运算。(2)不必增加在立几情况下求解三角形的问题,可在立体几何学习时适当拓展。（3）应用问题应限制在正、余弦定理的简单应用上。(4)实习作业不要求太复杂的问题。3纲标比较纲标比较3.1 章节、课时比较章节、课时比较大纲教材大纲教材课标教材课标教材数学第一册（下）第五章数学第一册（下）第五章 平面向量平面向量数学数学 5 第第 1 章章 解三角形（解三角形（8 课时）课时）二、解斜三角形（约
6、二、解斜三角形（约 7+5 课时）课时）1.1.1 正弦定理 (约 1 课时)5.9 正弦定理、余弦定理 (约 4 课时) 1.1.2 余弦定理 (约 2 课时)5.10 解斜三角形应用举例（约 2 课时）(探究与发现 解三角形的进一步发现)实习作业 解三角形在测量中的应用(约 2 课时)1.2 应用举例 (约 3 课时)(阅读材料 人们早期怎样测量地球的半径？)(阅读与思考 海伦与秦九韶)研究性学习课题：向量在物理中的应用(约 3 课时)1.3 实习作业 (约 1 课时)单元小结与复习(约 1 课时) 小结(约 1 课时)3.2 内容安排上的变化内容安排上的变化 大纲教材将解三角形安排在“平
7、面向量”之中，成为平面向量的一个单元，而课标教材在模块 5 中独立成章，突出其独立性。 3.3 几个特点几个特点 教学要求上的特点教学要求上的特点大纲教材对解斜三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题。通过解三角形教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过以测量为内容的实习作业，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。而按照省教学指导意见 ，课标教材在计算方面降低了要求，削弱了用计算器解决斜三角形的有关计算问题，而在探索推理方面作了相应提高，重视正、余弦定理发现过程的探究。 有关教学价值上的特点有关教学价值上的特点大
8、纲教材中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，重在其工具性和应用性，也比较关注三角形恒等变换和边角关系转换，把教学的重点放在运算上，而意见将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何作用，培养学生的量化思想，并引导教师关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量有关的实际问题，其侧重点放在推理与探究上。4. 教学内容分析教学内容分析章引言章引言本章一开始的引言就从一个测量问题引入：“在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”接着指出：“在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三
9、角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题.”这就点出了本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识学习解三角形知识的必要性。然后以一系列的实际问题引入本章要学习的数学知识，这些问题的解决需要进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识，于是顺理成章地指出，在本章中我们要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题。1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。对于正弦定理，教科书首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思
10、考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，而钝角三角形中定理的证明要求学生自己通过探究来加以证明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。对于（2） ，在某些条件下会出现无解或两解的情形，教科
11、书在探究与发现：“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。正弦定理略去等于 2R，目的是控制难度，防止设计出太多难题，加重学生的负担。对于余弦定理，首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。由于涉及边长问题，教科书考虑用向量的数量积，比较容易地证明了余弦定理。余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。应用余
12、弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：（1）已知两边和它们的夹角解三角形；（2）已知三角形的三边解三角形。1.2 应用举例应用举例正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，教科书介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能
13、解决的。关于三角形的有关几何计算，教科书还涉及了三角形的高和面积的问题，给出了计算三角形的高和面积的公式，这些公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到。值得一提的是，已知三角形的三边求三角形面积的问题在历史上是一个重要的问题，在西方有海伦公式，在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式” ，教科书在阅读与思考中对此作了介绍，在习题中要求学生加以证明。另外，关于三角形边角关系恒等式的证明问题，课程标准要求不在这类问题上作过于繁琐的训练，教科书选择的例题（P21 例 9）仅限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题。1. 3 实习作业实习作业本章内容有很强的实践性，教科书安排了一个利用本章知识的有关
14、测量的实习作业。实习作业重在过程，通过实习，培养学生构建数学模型，分析和解决简单实际问题的能力。实习前，教师要指导好学生作好前期准备，选择好素材。实习时注意现场指导。对学生的实习报告要予以讲评和规范。有条件的情况下，可让学生自主选择素材在课后再完成几个实习报告。 第二章第二章 数列数列数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。根据课程标准的要求，在本章中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的（等比）数列的求和公式广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。1内容与课程学习目标内容与课程学习目
15、标本章的主要内容是数列的基本概念、等差数列和等比数列以及它们的一些基本数量关系。通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：（1） 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） ，了解数列是一种特殊函数（2） 通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系2教学要求教学要求2.1 基本要求基本要求 （1）理解数列的定义，了解数列是一类特殊函数。 （2）了解数列的几种简单的表示方法（列
16、表、图象、通项公式）。 （3）认识数列是反映自然规律的基本模型。（4）能根据给出的递推公式写出数列的前几项。（4）理解等差（等比）数列的概念。 （5）掌握等差（等比）数列的通项公式。 （6）了解等差数列（等比）与一次函数（指数函数）的关系。 （7）能在具体的问题情境中，识别数列的等差（等比）关系，进而用等差（等比）数列有关知识解决相应的问题。 （8）掌握等差（等比）数列前n项和的公式，并能用公式解决简单的问题。 （9）理解等差（等比）数列前n项和公式的推导方法。 （10）能利用等差（等比）数列前n项和公式极其性质求一些特殊数列的和。（11）理解与的关系。nSna（12）等比数列的求和公式达到灵活应用。2.2 发展要求发展要求 （1）能根据数列的前几项写出一个通项公式。 （2）掌握等差（等比）数列典型性质及应用。 （3）能灵活运用等差数列的求和公式。 （4）能用类比观点推导等比数列性质。 （7）理解等差数列与等比数列简单组合的数列的前n项和
