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1、课 题: 不定积分 目的要求： 掌握不定积分与导数的关系 掌握不定积分的基本积分表 掌握不定积分的凑微分法，换元法，分部积分法 掌握有理真分式的不定积分 教学重点： 掌握不定积分的运算 教学难点： 掌握不定积分的运算 教学课时：6 教学方法：对比法，讲练结合 教学内容与步骤： 原函数的概念：原函数的概念：定义 1 设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得( )f x( )F x或,( )( )F xf xd ( )( )dF xf xx则称为的一个原函数( )F x( )f x例 因为，故 lnx 是 1/x 的一个原函数；因为，所以 是 2x1(ln )xx 2()2xx 2x的一个原函
2、数，但，所以 2x 的原函数不是惟222(1)(2)(3)xxx2xL一的 说明：第一，原函数的存在问题：如果在某区间连续，那么它的原函数一定存在(将在( )f x下章加以说明)第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若存在原函数，就不是惟一的，那么，( )f x这些原函数之间有什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论：定理 若是的一个原函数，则+C 是( )F x( )f x( )F x的全部原函数，其中 C 为任意常数( )f x证 由于，又，所以函数族+C( )( )F xf x ( )( )( )F xCF xf x( )F x中的每一个都是的原函数( )f x另一方面,设 G
3、（x）是的任一个原函数，即，则可证与( )f x( )( )G xf x( )F xG（x）之间只相差一个常数.事实上,因为， ( )( )( )( )( )( )0F xG xF xG xf xf x所以，或者，这就是说( )( )F xG xC( )( )G xF xC的任一个原函数 G（x）均可表示成+C 的形式( )f x( )F x不定积分的概念不定积分的概念: :定义 2 函数的全体原函数+C 叫做的不定积分，定积分，记为( )f x( )F x( )f x，其中,( )d( )f xxF xC( )( )F xf x上式中的 x 叫做积分变量，叫做被积函数，dx 叫做被积表达式，
4、C 叫做( )f x( )f x积分常数， “”叫做积分号例 1 求下列不定积分：（1）；（2）； （3）2dxxsin dx x1dx x解 （1）因为，所以. 321 3xx231d3xxxC（2）因为，所以.( cos )sinxxsin dcosx xxC （3）因为 x0 时，又 x0 时，所以1(ln )xx 11ln()xxx.1dln |xxCx例 2 设曲线过点（1，2）且斜率为 2x，求曲线方程解 设所求曲线方程为按，故( )yy xd2dyxx22 dyx xxC又因为曲线过点（1，2） ，故代入上式 2=1+C，得 C=1，于是所求方程为.21yx例 3 设某物体运动速
5、度为，且当 t=0 时，s=2，求运动规律23tv( )ss t解 按题意有，即，再将 t=0 代入得：2( )3s tt23( )3 ds ttttCC=2，故所求运动规律为32st 注：注：积分运算与微分运算之间的互逆关系：（1）或( )d( )f xxf xd( )d( )df xxf xx；(2)或( )d( )F xxF xCd ( )( )F xF xC基本积分公式基本积分公式: : 由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式： (1)(为常数)，dk xkxCk(2)（） ， 11d1xxxC 1 (3)，1dlnxxCx(4)，e dexxxC(5
6、) ，dlnx xaaxCa(6)，cos dsinx xxC(7)，sin dcosx xxC (8)，2 21dsecdtancosxx xxCx(9)，2 21dcscdcotsinxx xxCx (10)，sec tan dsecxx xxC(11)，csc cot dcscxx xxC (12)，21darctan1xxCx（13）. 21darcsin 1xxC x 不定积分的性质不定积分的性质: :性质 1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 （）.( )d( )dkf xxkf xx0k 性质 2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即.( )( ) d(
7、)d( )df xg xxf xxg xx例 求下列不定积分：（1）(2)；(3) 21dxx；dx x xd 2x gx解 （）.2 1 2 211dd2 1xxxxCCxx （）.35 222dd5x x xxxxC（） Cd1d 22xx gxgx112211 1212gxxCgg 例 求下列不定积分:（）；11dxxxx（）221d 1xxx 解:（1）111d1dxxxx xxxxx 1dd1 ddx x xx xxxx51 222212.52xxxxC（）2222211 22dd1d111xxxxxxxx 2dd22arctan.1xxxxCx练习 求下列不定积分：(1)； (2)
8、2tandx x2sind2xx解 (1) =2tandx x 2(sec1)dxx2secddtan.x xxxxC（2）类似：21 cos11sinddsin.2222xxxxxxC例例 设求22sincos,fxx fx解 由于，222sincos1sinfxxx所以,故知是 1-x 的原函数 ，得 1fxx fx.2 ( )(1)d2xf xxxxC练习：练习：1在不定积分的性质中，为何要求？ d( )dkfxxkf xx0k 2.若则为何？ d2sin,xfxxxC fx3.若的一个原函数为则为何？ fxcos ,x dfxx换元积分法换元积分法: 1第一类换元积分法(凑微分法)例
9、求.3e dxx解 被积函数是复合函数，不能直接套用公式3ex我们可以把原积分作下列变形后计算：e dexxxC.3331e de d(3 )3xxuxxx令11e de33uuuC回代1 33exC直接验证得知,计算方法正确 例 求22 e dxxx解 注意到被积式中含有 项,而余下的部分恰有微分关系：于是类似于2ex22 dd()x xx例 1,可作如下变换和计算： 2222 22 e de d()e dee.xxuuxuxxxxuCC令回代注：注： 上述解法的特点是引入新变量,从而把原积分化为关于 u 的一个简单的积( )ux分，再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式 中，将 x
10、换成了e dexxxC,对应得到的公式是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理： ( )uxe deuuuC定理 如果，则:( )d( )f xxF xC( )d( ).f uuF uC其中是的任一个可微函数( )uxx证: 由于,所以根据微分形式不变性,则有：( )d( )f xxF xCd ( )( )dF xf xx其中是的可微函数，d ( )( )dF uf uu( )uxx由此得: ( )dd ( )( ).f uuF uF uC这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中，自变量 x 换成任一可微函数后( )ux公式仍成立这就大大扩充了基本积分公式的使用范围应用这一结论，上述例题引用
11、的 方法, 可一般化为下列计算程序： ( ) ( )( )d ( )d ( )uxfxxxfxx令凑微分( )d( ) ( ).f uuF uCFxC回代这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法凑微分法例 求.2cossin dxx x解 设得,cos ,uxdsin dux x 223311cossin ddcos.33xx xuuuCxC 注：方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微分成积分公式的形式例 求 2d1 lnxxx解 222d1d1d lnarcsin ln. 1ln1ln1lnxxxxCxxxxx例 5 求sindxxx解 sind2 sin
12、d2cosxxxxxCx 注： 凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成,这需要解题d ( )x经验,如果记熟下列一些微分式,解题中则会给我们以启示1dd()xaxba，21dd()2x xx，d2d()xxx，e dd(e )xxx ，1dd(ln |)xxx，sin dd(cos )x xx ，cos dd(sin )x xx，2secdd(tan )x xx，2cscdd(cot )x xx ，2dd(arcsin ) 1xx x ，2dd(arctan )1xxx下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧例 6 求下列积分： (1) (2) (3) 22d(0)xa ax ；22dx ax；tan dx x；解 （1）= 2222d11 dd11xx x aaxxx a aa arcsin.xCa类似得(2) 22d1arctan.xxCa
