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1、轨迹方程的五种求法第 1 页 共 7 页轨迹方程的五种求法轨迹方程的五种求法一、直接法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例例 1：已知点，动点满足，则点的轨迹是（ ）( 2 0)(3 0)AB ，()P xy，2PA PBxuu u r uu u rPA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析：解析：由题知，由，得，即( 2)PAxy uu u r，(3)PBxyuu u r，2PA PBxuu u r uu u r22( 2)(3)xxyx ，26yx点轨迹为抛物线故选 DP 二、定义法：二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程例例 2：在中，上的两条中线长度之和为 39，求的重心的轨迹方程
2、ABC24BCACAB，ABC解：解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图 1，为重心，则有BCxBCyM239263BMCM点的轨迹是以为焦点的椭圆，MBC，其中1213ca，225bac所求的重心的轨迹方程为ABC22 1(0)16925xyy三、转代法：三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例例 3：已知ABC 的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方( 3 0)(10)BC ，A2yxABCG程解：解：设，由重心公式，得()G xy，00()A xy，0031 33xxyy ，00323xxyy ， 又在抛物线上， 00()A xy
3、，2yx2 00yx将，代入，得，即所求曲线方程是23(32) (0)yxy2434(0)3yxxy四、参数法：四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数） ，把，联系起来xy例例 4：已知线段，直线 垂直平分于，在 上取两点，使其满足，求直线2AAa lAAOlPP，4OP OP uuu r uuu u r与的交点的轨迹方程APA P M 解：解：如图 2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系AAxAAy设点，(0)(0)Pt t ，则由题意，得40Pt，由点斜式得直线的方程分别为APA P ，4()()tyxayxaata ，轨迹方程的五种求法
4、第 2 页 共 7 页两式相乘，消去 ，得这就是所求点 M 的轨迹方程t222244(0)xa yay评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法：五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例例 5：已知 A，B，D 三点不在一条直线上，且，( 2 0)A ，(2 0)B ，2AD uuu r1()2AEABADuuu ruuu ruuu r（1）求点轨迹方程；E（2）过作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线AAB，MN，MNy4 5与点的轨迹相切，求椭圆方程MNE解：解：（1）设，由知为中点
5、，易知()E xy，1()2AEABADuuu ruuu ruuu rEBD(22 2 )Dxy ，又，则 即点轨迹方程为；2AD uuu r22(222)(2 )4xyE221(0)xyy（2）设，中点1122()()M xyN xy，00()xy，由题意设椭圆方程为，直线方程为222214xy aaMN(2)yk x直线与点的轨迹相切，解得MNE 221 1kk 3 3k 将代入椭圆方程并整理，得，3 3y (2)x 222244(3)41630axa xaa，2 12 0222(3)xxaxa 又由题意知，即，解得故所求的椭圆方程为04 5x 224 2(3)5a a28a 22 184
6、xy配套训练配套训练一、选择题一、选择题1. 已知椭圆的焦点是 F1、F2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点 Q的轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线2. 设 A1、A2是椭圆4922yx=1 的长轴两个端点，P1、P2是垂直于 A1A2的弦的端点，则直线 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程为( )A.14922 yxB.14922 xyC.14922 yxD.14922 xy轨迹方程的五种求法第 3 页 共 7 页二、填空题二、填空题3. ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，B(2a,0),C(2a,0)，且满足条
7、件 sinCsinB=21sinA,则动点 A 的轨迹方程为_.4. 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题三、解答题5. 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线 l 于点 A，又过 B、C 作O异于 l的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by ax=1 的实轴为 A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引 A1QA1P，A2QA2P，A1Q 与A2Q 的交点为 Q，求 Q
8、 点的轨迹方程.轨迹方程的五种求法第 4 页 共 7 页7. 已知双曲线2222ny mx=1(m0,n0)的顶点为 A1、A2，与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、Q.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程；(2)当 mn 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by ax=1(ab0),点 P 为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为 l，点F2关于 l 的对称点为 Q，F2Q 交 l 于点 R.(1)当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为 C，直线 l：y=k(x+2a)与曲线
9、 C 相交于 A、B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，求 k 的值.轨迹方程的五种求法第 5 页 共 7 页参考答案参考答案配套训练一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点 Q 到定点 F1的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点 P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P 共线，300 xy xxyyA2、P2、P 共线，300 xy xxyy解得 x0=149, 149,3,9222 02 0 0yx
10、yx xyyx即代入得答案：C二、3.解析：由 sinCsinB=21sinA,得 cb=21a,应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4( 1316162222axay ax.答案：)4( 1316162222axay ax4.解析：设 P(x,y） ，依题意有 2222)5(3)5(5yxyx ,化简得 P 点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：设过 B、C 异于 l 的两切线分别切O于 D、E 两点，两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|
11、PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆，以 l所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹方程为728122yx=1(y0)6.解：设 P(x0,y0）(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).轨迹方程的五种求法第 6 页 共 7 页由条件 yaxyaxxxaxy axyaxy axy220000000)(11得而点 P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2，即 b2(x2)a2(yax22)
12、2=a2b2化简得 Q 点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xa).7.解：(1)设 P 点的坐标为(x1,y1)，则 Q 点坐标为(x1,y1),又有 A1(m,0),A2(m,0),则 A1P 的方程为：y=)(11mxmxyA2Q 的方程为：y=)(11mxmxy得：y2=)(22 22 12 1mxmxy又因点 P 在双曲线上，故).(, 122 1222 122 1 22 1mxmnyny mx即代入并整理得2222ny mx=1.此即为 M 的轨迹方程.(2)当 mn 时，M 的轨迹方程是椭圆.()当 mn 时，焦点坐标为(22nm ,0)，准线方程为 x= 222nmm,离心
13、率 e=mnm22；()当 mn 时，焦点坐标为(0,22nm ),准线方程为 y= 222mnn,离心率 e=nmn22.8.解：(1)点 F2关于 l 的对称点为 Q，连接 PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为 l 为F1PF2外角的平分线，故点 F1、P、Q 在同一直线上，设存在 R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又 221 01 0yycxx得 x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.轨迹方程的五种求法第 7 页 共 7 页故 R 的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)(2)如右图，SAOB=21|OA|OB|sinAOB=22asinAOB当AOB=90时，SAOB最大值为21a2.此时弦心距|OC|= 21|2|kak.在 RtAOC 中，AOC=45，.33,2245cos 1|2| |2 k kaak OAOC
