指数不等式、对数不等式的解法

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1、- 1 -指数不等式、对数不等式的解法指数不等式、对数不等式的解法例题例题例例 5-3-75-3-7 解不等式：解解 (1)原不等式可化为x2-2x-12(指数函数的单调性)x2-2x-30 (x+1)(x-3)0所以原不等式的解为-1x3。(2)原不等式可化为注注 函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例例 5-3-85-3-8 解不等式 logx+1(x2-x-2)1。解解 法一 原不等式同解于- 2 -所以原不等式的解为 x3。法二 原不等式同解于logx+1(x2-x-2)logx+1(x+1)所以原不等式的解为 x3。注注 解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的

2、分类讨论。解解 原不等式可化为22x-62x-160令 2x=t(t0)，则得t2-6t-160 (t+2)(t-8)0 -2t8又 t0，故 0t8 即 02x8，解得 x3。注注 解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。解解 原不等式可化为- 3 -解得 t-2 或 0t1，即注注 解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数 的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。例例 5-3-115-3-11 设 a0 且 a1，解不等式解解 原不等式可化为令 logax=t，则得- 4 -当 0a1 时，由指数函数的单调性，有4-t21-2t

3、t2-2t-30 (t+1)(t-3)0t-1，或 t3当 a1 时，则有4-t21-2t t2-2t-30 (t+1)(t-3)0 -1t3注注 解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一” ，即把 不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指 数或对数的单一情形求解。例例 5-3-125-3-12 设 f(x)是定义在实数集 R 内的函数，对任意 x，yR，有 f(x+y) =f(x)f(y)；并且当 x0 时，f(x)1，f(1)=a。解关于 x 的不等式 f(x2+x-4) a2。分析分析 由题设条件容易联想到 f(x)是指数型函数，又 a2=f(1)f(1)=f(2)， 故原不等式同解于 f(x2+x-4)f(2)。于是，问题归结为先确定 f(x)的单调性， 再解一个二次不等式。=0，否则，对任意 xR，有f(x)=f(x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0与已知矛盾，所以对任意 xR，有 f(x)0。现设 x，yR，且 y=x+(0)。则f(y)-f(x)=f(x+)-f(x)=f(x)f()-f(x)=f(x)f()-10(0，f()1)。故 f(x)在 R 内是增函数。于是原不等式同解于x2+x-42 x2+x-60 x-3 或 x2- 5 -注注 本题的关键是确定函数 f(x)的单调性，而不必求出它的具体表达式。