二次函数及压轴题

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1、朝阳 24 （本小题满分 7 分） 已知直线 y=kx-3 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线经过点 A 和点 C,动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个长度单位的速度由抛物线23 4yxmxn 与 x 轴的另一个交点 B 向点 A 运动，点 Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运 动速度的 2 倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点 P 和点 Q 同时出发，运动时间为 t（秒） ，试问当 t 为何值时，PQA 是直角 三角形； （3）在直线 CA 上方的抛物线上是否存在一点 D，使得ACD 的面积最大，若存在，求出 点 D

2、 坐标；若不存在，请说明理由 崇文2已知抛物线经过点 A（1，3）和点 B（2，1） 21yaxbx（1）求此抛物线解析式； （2）点 C、D 分别是轴和轴上的动点，求四边形 ABCD 周长的最小值；xy （3）过点 B 作轴的垂线，垂足为 E 点点 P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称x 轴到达 F 点,再沿 FE 到达 E 点，若 P 点在对称轴上的运动速度是它在直线 FE 上运动速度的倍,试确定点 F 的位置,使得点 P 按照上述要求到达 E 点所用的时间最短 （要求：简2述确定 F 点位置的方法，但不要求证明）23已知 P（)和 Q（1，）是抛物线上3,mm221yxbx的两点（1

3、）求的值；b（2）判断关于的一元二次方程=0 是否有实数根，若有，求出它的实x221xbx数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后221yxbxkk的图象与轴无交点，求的最小值xk东城18已知：二次函数中的满足下表：2yaxbxc(0)a xy，x10123y0343mxyoC1A1（1）的值为 ；m（2）若，两点都在该函数的图象上，且，试比较与1()A py，2(1)B py ，0p 1y的大小.2y23. 已知抛物线 C1：的图象如图所示，把 C1的图象沿轴翻折，得到抛物线22yxxyC2的图象，抛物线 C1与抛物线 C2的图象合称图象 C3（1）

4、求抛物线 C1的顶点 A 坐标，并画出抛物线 C2的图象；（2）若直线与抛物线ykxb有且只有一个交点时,称直线与2(0)yaxbxc a抛物线相切. 若直线与抛物线 C1相切，求yxb的值；b（3）结合图象回答，当直线与图象 C3 有两个交点时，的取值范围yxbb24如图，在平面直角坐标系中，A（，0） ，B（，2）.把矩形 OABC 逆时针旋2 32 3转得到矩形.30111OA BC（1）求点的坐标； 1B（2）求过点（2，0）且平分矩形面积的直线 方程；111OA BCl（3）设（2）中直线 交轴于点 P，直接写出与的面积和的值及ly1PC O11PB A与的面积差的值.1POA11P

5、BC备用图丰台23 （本小题满分 7 分）已知二次函数22mmxxy（1） 求证：无论 m 为任何实数，该二次函数的图象与 x 轴都有两个交点； （2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式； （3） 将直线 y=x 向下平移 2 个单位长度后与（2）中的抛物线交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，一个动点 P 自 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E， 再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B求使点 P 运动的总路径最短的点 E、 点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长25 （本小题满分 8 分）已知抛物线22xxy（1）求抛物线顶点 M 的坐标

6、；（2）若抛物线与 x 轴的交点分别为点 A、B（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N 在线段 BM上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合） ，设 NQ 的长为 t，四边形 NQAC 的面积为S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由海淀23关于的一元二次方程有实数根，且为正整数.x240xxcc（1）求的值；c（2）若此方程的两根均为整数，在平

7、面直角坐标系中,抛物线与轴xOy24yxxcx交于、两点（在左侧） ，与轴交于点. 点为对称轴上一点，且四边形ABAByCP 为直角梯形，求的长；OBPCPC （3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为,当抛物线与（2）中的直角梯形D,m n只有两个交点，且一个交点在边上时，直接写OBPCPC 出的取值范围.m24. 点为抛物线(为常数，)P222yxmxmm0m 上任一点，将抛物线绕顶点逆时针旋转后得到的新G90图象与轴交于、两点（点在点的上方） ，点为点旋转后的对应点.yABABQP（1）当，点横坐标为 4 时，求点的坐标；2m PQ（2）设点，用含、的代数式表示；( ,

8、)Q a bmba（3) 如图，点在第一象限内, 点在轴的正半轴上，点为的中点， 平分QDxCODQO，当时，求的值.AQC2AQQCQDmm石景山23已知：与两个函数图象交点为，且，是关于axy xby3nmP,nm nm、的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数x03722kxkkxk（1）求的值；k（2）求的值；ba、（3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧）0ccyaxy xby3BA、AB，线段，求的值23ABc25已知：如图 1，等边的边长为，一边在轴上且， 交ABC32x0 , 31AAC轴于点，过点作交于点yEEEFABBCF （1）直接写出点的坐标； CB、（2）若直线将

9、四边形的面积两等分，求的值； 01kkxyEABFk（3）如图 2，过点的抛物线与轴交于点，为线段上的一个动点，CBA、yDMOB过轴上一点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，当x0 , 2GDMHGHyN点在线段上运动时，现给出两个结论：MOB ，其中有且只有一个结论是正确的，请CDMGNMDCMMGN 你判断哪个结论正确，并证明图 1 图 2西城23已知关于 x 的方程032) 1(32mxmmx（1）求证：无论 m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于的二次函数的图象关于 y 轴对称x32) 1(32 1mxmmxy求这个二次函数的解析式；已知一次函数，证明：在实数范围内，对于 x 的

10、同一个值，这两个222xy函数所对应的函数值 y1y2均成立； （3）在（2）的条件下，若二次函数 y3ax2bxc 的图象经过点（5，0） ，且在实 数范围内，对于 x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值 y1y3y2均成立 求二次函数 y3ax2bxc 的解析式.25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象与 x 轴交于点 A，333 xy与 y 轴交于点 B，点 C 的坐标为（3,0） ，连结 BC （1）求证：ABC 是等边三角形； （2）点 P 在线段 BC 的延长线上，连结 AP，作 AP 的垂直平分线，垂足为点 D，并 与 y 轴交于点 D，分别连结 EA、EP 若

11、CP6，直接写出AEP 的度数； 若点 P 在线段 BC 的延长线上运动（P 不与点 C 重合） ，AEP 的度数是否变 化？若变化，请说明理由；若不变，求出ADP 的度数； （3）在（2）的条件下，若点 P 从 C 点出发在 BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度 EC 与 AP 于点 F，设AEF 的面积为 S1，CFP 的面积为 S2， yS1S2，运动时间为 t（t0）秒时，求 y 关于 t 的函数关系式 宣武24已知：将函数的图象向上平移 2 个单位，得到一个新的函数的图像 3 3yx(1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与 y 轴交于、两点

12、，与直线OAyOABC11xxyO交于、两点试判断以、四点为顶点的3x CBABCO四边形形状，并说明理由； (3)若中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数 21222bbxxy的图象的一部分，求满足条件的实数 b 的取值范围25已知：如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将0P(10)，线段按逆时0OP针方向旋转，再将其长度伸长为的 2 倍，得到线段；又将线段按逆时针45o0OP1OP1OP方向旋转，长度伸长为的 2 倍，得到线段；如此下去，得到线段，45o1OP2OP3OP，（为正整数）4OPLnOPn(1)求点的坐标；(2)求的面积； 6P56POP(3)我们规定：把点（）的横坐标(

13、)nnnP xy，012 3n L，、纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点nxnynnxy，的“绝对坐标” 根据图中点的分布规律，请你猜想点nPnPnP的“绝对坐标” ，并写出来大兴24. 若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根21,xxx)0(02acbxax和系数有如下关系：. 我们把它们称为根与21,xxcba,acxxabxx2121,系数关系定理. 如果设二次函数的图象与 x 轴的两个交点为.利)0(2acbxaxy)0 ,(),0 ,(21xBxA用根与系数关系定理我们又可以得到 A、B 两个交点间的距离为：.444)(4)(222 2 212 2121aacb aacb

14、 ac abxxxxxxAB请你参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数的图象与 x 轴的两个交点为，抛)0(2facbxaxy)0 ,(),0 ,(21xBxAOxy0(10)P，1P2P3P4P5P物线的顶点为 C，显然为等腰三角形.ABC（1）当为等腰直角三角形时，求ABC;42的值acb （2）当为等边三角形时， .ABC acb42（3）设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，顶点为 C，且,试12kxxy90ACB问如何平移此抛物线，才能使？60ACB25已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线22yxxa0a yAM分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.1 2yxaxy

15、BC，AMN(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；aMNMN ， ， ， (2)如图 11，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与NACyNNAN轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；xDCDaADCN(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点22yxxa0a PPACN，的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.P23已知抛物线，2442yaxaxa其中是常数 （1）求抛物线的顶点坐标；a（2）若，且抛物线与轴交于整数点2 5a x（坐标为整数的点） ，求此抛物线的解析式OyxA-6-6-1-2-3-5-412345-4876-5-3-2-1654321y yx xO25如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴xOy( 3 ,1)AxCACx交于点，将沿翻折后，点落在点处BOCBOCBD（1）求点、的坐标；CD（2）求经过、三点的抛物线的解析式；ODB（3）若抛物线的对称轴与交于