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1、1丢番图的墓志铭丢番图的墓志铭在丢番图的墓碑上，刻写着这样一段墓志铭: 坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路， 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起婚姻的蜡烛， 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途。 这块奇特的碑文，如同谜语，又是一道数学题。碑文的大意是： 过路人：这儿埋着丢番图的骨灰。下面的数目可以告诉你，他的寿命究竟 有多长： 他一生的六分之一是幸福的童年。再活了十二分之一，面颊上长起了细细 的胡须。丢番图结了婚，还没有孩子，
2、又度过了一生的七分之一。再过五年， 他感到很幸福，得了头生儿子。可是命运给这孩子在这世界上的光辉生命仅有 他父亲的一半。儿子死了以后，这老头儿在深深的悲痛中又活了四年，也结束 了尘世的生涯。 这块奇特的碑文，数千年来一直引起人们的极大兴趣。根据这个碑文，人 们已经把这位伟大的数学家年龄、家庭经历都一一推算出来。 如果你发现了这块碑，是否也会推算？ 2火柴游戏火柴游戏 一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴於桌上，两人轮流取，每次 所取的数目可先作一些限制，规定取走最後一根火柴者获胜。 规则：若限制每次所取的火柴数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜？ 例如：桌面上有 15 根火柴
3、，甲乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜？ 为了要取得最後一根，甲必须最後留下零根火柴给乙，故在最後一步之前的轮取中， 甲不能留下 1 根或 2 根或 3 根，否则乙就可以全部取走而获胜。如果留下 4 根，则乙不能 全取，则不管乙取几根（1 或 2 或 3） ，甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。 同理，若桌上留有 8 根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取後留下 4 根火柴，最後也一定是甲获胜。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为 4，8，12，16，等让乙去取，则甲必稳操胜券。 因此若原先桌面上的火柴数为 15，则甲应取 3 根。若原先桌面上的火柴数为 18 呢？
4、则甲应先取 2 根。 蜂窝猜想蜂窝猜想加拿大科学记者德富林在环球邮报上撰文称，经过 1600 年努力，数学 家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。四世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动 的代表。他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的 蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为“蜂窝猜想“，但这一猜想一直没有人能证明。美密执安大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想。蜂窝是一座十分精密 的建筑工程。蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头 大校而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面 柱体。每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非
5、常小。6 面隔墙宽度完全相同，墙之间 的角度正好 120 度，形成一个完美的几何图形。人们一直疑问，蜜蜂为什么不 让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面 呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总 面积仅与蜂巢的截面有关。由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最 小的平面图形。1943 年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中， 正多边形的周长是最小的。1943 年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首 尾相连的正多边形中，正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时， 会发生什么情况呢？陶斯认为，正六边形与其他
6、任何形状的图形相比，它的周 长最小，但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向 外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将 19 页 的证明过程放在因特网上，许多专家都已看到了这一证明，认为黑尔的证明是 正确的。3举起脚来举起脚来阳春三月，正是郊游的好时候，孔老师和我们共同外出游玩，大伙儿边走边看，说说 笑笑，不知不觉来到了一个小村庄旁。听着村里传来的鸡鸣狗叫声，孔老师感慨地说：” 老子说过，他理想中的社会是邻邦相望，鸡犬之声相闻，民至老死不相往来，我实在 是无法赞同呀！要是人们都这样的话，那怎么能互相取长补短，传播知识呢？！” 同学们恭恭敬敬地围着他，
7、听他抒发感慨。 “我给你们举个例子吧，鸡兔同笼问题，你们听说过没有？” 大伙儿都点了点头，颜回说：”就是知道鸡和兔子的总头数和总脚数，求鸡和兔子各 多少只，可以用假设法来求，也可以列出方程来解决。” 孔老师赞许地说：”颜回说得很好，可以看出他平时经常读数学的书籍。解法确实是 非常多的，但是前几天我听一个南方的客人介绍了一种新的思路，非常有趣呢！我们刚才 说到鸡犬之声，那我就改一改，用鸡犬来出题吧嗯，村里李大伯家养了鸡和狗，脚一 共有 56 只，那么鸡和狗各有多少只呢？”同学们都叽里咕噜地开始在心里默算，性急的子路已经蹲下来，在地上画开了。孔老师微微笑起来，说：”不用急，我刚才说过了，我们换一种
8、算法，你们先闭上眼 睛吧。” 大伙儿安静下来，微闭双眼，听孔老师的下一步指令。 “让所有的鸡和狗排成一队，各举起一只脚来！” “现在，站在地上的还有几只脚？” 子路抢着说：“有 32 只脚。” 孔老师说：“那鸡有 20 只，狗有 4 只。” 同学们知道孔老师是怎样算的吗？学习本章的内容，这个看似不好列一元一次方程的 应用题，可以很快得到解决。4对称在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两边的图形是完全一样的。也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转 180 度后，能与另一边完全重合。在数学上把具有这种性质的图形叫作轴对称图形，这条线叫作对称轴。电扇的叶子不是轴对称图形，不管怎么画线，都
9、无法找到这条直线。但电扇的一个扇叶，如果绕这电扇中心旋转 180 度后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合。这种图形数学上称为中心对称图形，这个中心点称为对称中心。显然闹钟也是一个中心对称图形。所有轴对称和中心对称图形，统称为对称图形。人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形状，不仅为了美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机能在空中保持平衡。对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗，民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。如果说建筑也是一种艺术的话，那么建筑艺术中对称的应用就更广泛。中国北京整个城市的布局也是以故宫、天安门、人民英雄纪
10、念碑、前门为中轴线(对称轴)两边对称的。对称还是自然界的一种生物理象。不少植物、动物都有自己的对称形式。比如人体就是以鼻尖、肚脐眼的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚、乳房都是对称生长的。眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置，双手、双脚的对称能保持人体的平衡。5天然不等式天然不等式纵观数学的发展，无论在哪一个领域，都围绕着等式问题展开研究可是不等式 的产生，不但是自然的，而且也是必然的人类仿效穿云破雾，翱翔天空的飞禽失败，却造出了飞机，飞船；人类仿效越山涉水， 攀木缘崖的走兽失败，却造成了汽车、火车人类仿效浮沉自如，水里乾坤的鱼
11、鲛失败， 却造出了船舰、潜艇这是巧夺天工呢，还是天工巧难夺呢？模仿、模拟、理想与现实存 在着很大的差距，这就是人类现实生活中的一个天然不等式相等只是理想，不等于是现 实要解决不等式问题，应从等式着眼；要解等式问题，却要从不等式入手，理想处着眼， 实际处入手，这就是天然不等式给予我们的启迪 例如：海滩上有一堆桃子，是两只猴子的共有财产，猴子性急，有时也很正直，第一 只猴子来到海滩后想要取走自己的一份，于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把 多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份， 猴子总归是猴子，它无法知道伙伴已取走一份，于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，发 现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，如果原有的桃子数不少于 100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？ 这个问题就要用我们即将学习的不等式，可以马上找到答案。
