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1、高中数学选修高中数学选修 2-1 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何第第 2 讲讲 空间向量的数乘运算（第空间向量的数乘运算（第 1 页页 共共 4 页）页）第第 2 讲讲 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 【学习目标学习目标】 1.掌握空间向量的数乘运算.2.理解共线向量定理及推论.3.理解共面向量定理及推论【知识要点知识要点】 知识点 1 空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：与平面向量一样,实数 与空间向量的乘积仍然是一个向量,记作 ,称为向量的数乘运aa算当 0 时，与向量方向相同；当 0 时，与向量方向相反；aaaa的长度是的长度的|倍aa(2)空间向量的数乘运算满
2、足分配律与结合律：分配律：()，结合律：.abrabraa知识点 2 共线向量(1)共线向量定义表示空间向量，的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量 a，b 叫做共线向量或abr平行向量，记作.abr(2)共线向量定理对空间任意两个向量， ()，_abrbr0rabr(3)共线向量定理的推论如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线，那么对于空间任一点 O，点 P 在a直线 l 上，.其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量存在实数，使tOPOAtauuu ruu u rr在 l 上取，则式可化为t，.此推论可以用来判断任意三点共线ABaOPOAAB和式都称为空间直线的向量表示式
3、.(4)三点共线问题高中数学选修高中数学选修 2-1 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何第第 2 讲讲 空间向量的数乘运算（第空间向量的数乘运算（第 2 页页 共共 4 页）页）若 A,B,C 三点共线,O 是线外任意一点,且,则_,OCxOAyOBuuu ruu u ruuu r若,且_,则 A,B,C 三点共线OCxOAyOBuuu ruu u ruuu r知识点 3 共面向量(1)共面向量的概念平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(2)共面向量定理如果两个向量，不共线,那么向量与向量，共面存在惟一的有序实数对(x，y)，abrpu rabr使_.(3)共面向量定理的推论空
4、间一点 P 位于平面 ABC 内或对空间任,存在有序实数对+使APxAB yAx yCuuu ruuu ruuu r意一点 O,有OPOAxAByACuuu ruu u ruuu ruuu r式称为空间平面 ABC 的向量表示式 (4)四点共面问题A,B,C,D 四点共面且任意三点不共线,O 是平面外一点,且,则ODxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r_A,B,C 三点不共线,且_,则 A,B,C,D 四点共ODxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r面.【典型例题典型例题】 例 1.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设，M，N，P 分
5、别是 AA1，BC，C1D1的中点，AA1arABbrADcr试用，表示以下各向量：arbrcr(1)；(2)；(3).APA1NMPNC1高中数学选修高中数学选修 2-1 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何第第 2 讲讲 空间向量的数乘运算（第空间向量的数乘运算（第 3 页页 共共 4 页）页）变式 1.如图所示，在平行六面体 ABCDABCD中，PABarADbrAAcr是 CA的中点，M 是 CD的中点，N 是 CD的中点，点 Q 在 CA上，且CQQA41，用，表示以下向量：arbrcr(1)；(2)；(3)；(4).APAMANAQ例 2.如图，四边形 ABCD 和
6、ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，则与是否共线？CEMN变式 2.设两非零向量、不共线，28，3()试问：1eu r2eu rAB1eu r2eu rBC1eu r2eu rCD1eu r2eu rA、B、D 是否共线，请说明理由高中数学选修高中数学选修 2-1 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何第第 2 讲讲 空间向量的数乘运算（第空间向量的数乘运算（第 4 页页 共共 4 页）页）例 3.如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线BD，AE 上，且 BM BD，AN AE.求证：向量，共面1313MNCDDE变式 3.已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一点,若由向量确定OCOBOAOP32 51的点 P 与 A,B,C 共面,则=_
