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1、- 1 -浅论闭区间上连续函数的性质浅论闭区间上连续函数的性质摘要摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.关键字关键字: :闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性实数的连续性和闭区间的紧致性,使闭区间上的连续函数有丰富的性质,而且可由实数的各等价命题推出.本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证.在论证过程中,严格地不出现微分学和积分学的内容,只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手.从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲
2、线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间上的连续函数的图像两端必须紧紧地连ba, xf接着定义在端点处的点上,形成一条封闭 bfafbfbafa,的曲线,即与直线形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不0,ybxax完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明.先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义.)()(), 0, 0,)(.)()(,(, 0, 0,)(.)()(),(, 0
3、, 0,)(),()(lim,)(0000000000000 0 xfxfxxxxxxfxfxfxxxxxxfxfxfxUxxxfxfxfxxxf xx时有当如果右连续在称时有当如果左连续在称时有当附近有定义在即如果连续在称若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连- 2 -续的定义与我们的直观认识相符合.而若函数在连续,是指函数在区间的每,ba点都连续,在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质,并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.1.1.闭区间连续函数在其定义域上有界闭区间连续函数在其定义域上有界. .闭区间连续函数的
4、图像是封闭的连续不断的曲线,可以想象这条曲线不可能纵向(y 轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.若函数在某点有极限,则在某点附近有界,而连续函数每点的极限都存在,因而在每点的附近都有界.只要用有限覆盖定理,就可以知道只需要有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖.因而函数在其定义域上也是有界的.,)(.,)(,.,max. ),(,), 2 , 1( ,),(,.,), (0,)(,), (,) ()(lim, ,)(:.,)(,211证完上有界在于是则有取使得由有限覆盖定理知的一个覆盖是又时当故证明上有界在的连续函数现在来证明定义于baxfbaxMxfMMMMxUba
5、niExUbabaxxUEMMxfbaxUxxfxfxbaCxfbaxfbaxixxnixixixxxxxxxiiUL若命题条件改为开区间,有限覆盖定理的条件不充分,该命题的证明便进行不下去.由此可见闭区间的条件是必须的.而连续的条件可以减弱,令每一点的极限都存在,可以同样推出函数在闭区间上有界.闭区间上的连续函数有界,由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值,分别对应于上下确界.2.2.闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值. .已经证明了上下确界的存在.只需要证明函数能够取到上下确界的值.- 3 -.)
6、()(,)(,)(1).(,)(1,1,)(:证完最小值情况证明类似的连续性可得定理及由又有取极限两边令故有使存在子列又使都存在对由确界的性质可知的上确界为设函数证明McfxfHeinecxMxfkMxfnMkbacxxbaxMxfnMxnMxfkkkkknnn knnnnnn分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知,这是连续函数)()(limcfxf cx 的定义,也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就是以此为依据的.而闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间里面.因,ba为在两边取极限,可能得到bxank).,(,bacbcac总之或即使是一个有界的函数,只要不是闭
7、区间上的连续函数,都不能保证能在定义域上取得最值.可以想象将闭区间连续函数的图像的最大值点向下移动一段距离,得到一个有界的不连续函数的图像(不妨0)( )( )()( )()( cxcfcxxfxg设有且只有一个最大值点),那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值.而)(xf一个定义在开区间且存在单调连续函数,如),(ba)(lim)(limxfxf bxax与,虽然在定义域上有界,但都不能够取得最值.) 10()(2xxxh3.3.连续函数介值定理连续函数介值定理. .这是一条重要的性质.连续函数在区间内必能取得介于端点函数值的值,称之为介值.从直观上看来,这是显然的.一条连续变化的曲线必会
8、在某个时刻经过介值点.若连续函数的取值可正可负,那么此函数必定存在零点,称之为零点定理.而介值定理是零点定理的直接推论,只需在原函数加减一个常数即可.下面给出用到确界定理的证明.- 4 - . 0)(.inf.,. 0)(),(, 0. 0)(.inf, 0) (,0. 0)(),(, 0,)(, 0)(. 0)(:,. 0)(. 0)(,0)().(,. 0)(,)(,. 0)(),inf,0)(,:. 0)(),(, 0)(, 0)(,)(:01011 证完即矛盾与使不存在取时有使必若矛盾与有取时有使故因有若往证如下用反证法来证明的集合可以同样构造一个这样证完故有两边取极限在使中自选取数列
9、故可在因此有由于两边取极限故记为故必有下确界有下界由于易知记集合证明使得则必存在若若零点定理fExExxfUxfEfxfUxbaCxfEffEffxfnxxEEfbaCxfxxfaxEaEExfbaxEfbabfafbaCxfnnn两个证明除了用到确界定理外几乎没有用到其它性质,譬如第二个证明,只是用到函数极限的保号性.这根本在于用确界定理给出了数集的下确界 .确界定理是函数连续性的一个刻画,而介值性的结论可以由连续性从直观上得到,只要给出了连续性一个理论上的刻画,余下的证明就像从直观上得到一般简单.但不连续的函数,就未必具有介值性.至于闭区间的条件并没有用到,原因是任何一个连续函数都可以截出
10、某一个闭区间,在这个闭区间上讨论介值的问题.在这里自然引出一个问题,具有介值性,即其值域为连续系的函数是否连续?如果不连续,要补充什么条件才能保证函数连续?如下面一个处处不连续的函数,其值域是.这说明具有介值性的函数不1 , 1一定连续.) 11( 1 00 11 , 0, )( xxxxxxxxxg是无理数且是有理数只要加强条件,令函数在定义域上单调,就一定有函数连续.有以下命题:.,)(,)()(,)(,)(baCxfbaxfxfbaxBABAxfbaxfy则上单调在且使且上定义在若函数- 5 -这个命题的正确性在直观上很显然.证明也只需要简单的说明.用反证法,设函数不连续.由于单调函数只
11、能有第一类间断点,并且间断点的取值要么是左极限,要么是右极限.那么只要通过极限保号性,说明函数不能取得间断点左极限和右极限之间的值便可.有界性,最值定理和介值定理合起来,说明了闭区间上的连续函数其值域也是闭区间,并且函数值能够取遍值域.用映射的语言来说,连续映射把映射成.反过来,这个命题说明了闭区间连续函数的)(:xfxf,ba,Mm这三条性质.4.4.闭区间上的连续函数必定一致连续闭区间上的连续函数必定一致连续. .先给出一致连续的定义:.) () (, , , , 0, 0,)(,)(xfxfxxIxxIxfIxf都有时只要当使对任意都存在则对任意上有定义在区间如果上一致连续在区间称一致连
12、续的直观意义,就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大,图像每处切线的斜率不至于任意大.规定一个因变量的变化幅度,则自变量对应的变化幅度不能任意小.由于一致连续的函数必定连续,故闭区间上的函数,连续跟一致连续是等价的.下面给出闭区间上的连续函数必定一致连续的证明:- 6 -.,)(.) () (), , ( , 0, 0.sup.) () (, ) , , ), min(.) () (, , , , 0, (.) () (), ( , )( ,.sup,.) () (,( , , , , , , ),min(.) () (, , , , 0,(.) () (, ,( , , 0,),()(.
13、,.,sup.,.)(.) () (, , , ,(.) () (, ,), , , 0, 0,)(:.,)(,)()(证完上一致连续在故都有只要都这就说明了故矛盾这与都有只要可知只需要取有只要且又有对上述若用反证法进行讨论现在同样只对上述的的上确界往证每一个所确定的这就说明了对每一个都有无论如何或者或者只要则取有只要且由上确界的定义知且有对上述则左连续若连续在因进行讨论现在只针对某一个是不同的对不同的要注意到故都有又故由上述论证知便有只要令且此时便有故右连续在证明一致连续在证明已知定理baxfxfxfbaxxxxbExfxfxxaxxxfxfxxaxxxfxfxxbbEbEEEExfxfxxaxxxxaxxxfxfxxaxxxfxfxxbaxxbxxfEEbaEbxExEEaxfxfxxxaxxbaxExfxfxxbaaaxxaxxfbaxfbaCxfCantoraa对 Cantor 定理的证明,可以通过函数的点连续,把附近的点联系起来,使函数在一个小的区间里面有类似一致连续定义的性质.然后通过闭区间的条件,把这种类似的性质拓展开去,变成整个区间上真正的一致连续.这个用确界定理的证明用到类似的思想,通过确界的定义找出 ,通过 描述的性质.最后得出,a的结论.确界定理的运用,与零点定理的证明一样,篇幅不
