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1、第3节 函数的奇偶性与周期性知识链条完善考点专项突破经典考题研析 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】 1.函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数、偶函数吗?反之,成立吗?提示:一定是.反之,也成立.2.如果函数f(x)是奇函数,那么是否一定有f(0)=0?提示:只有在x=0处有定义的奇函数,才有f(0)=0.3.周期函数y=f(x)(xR)的周期唯一吗?提示:不唯一.若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).知识梳理 1.奇函数、偶函数的概念及图象特征奇函数偶函数 定 义义定义义域函数f(x)的定义义
2、域关于 对对称 x对对于定义义域内 的一个x f(x)与f(-x) 的关系都有f(-x)=-f(x)都有f(-x)=f(x)结论结论函数f(x)为为奇函数函数f(x)为为偶函数 图图象特征关于 对对称关于 对对称2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数, 称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正 数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.原点 任意原点y轴f(x+T)=f(x) 存在一个最小【重要结论】 1.奇偶性的五个重要结论(1)如果一
3、个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数; 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.2.周期性的三个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a0
4、),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于 直线x=a对称; (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象 关于直线x=a对称; (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点 (b,0)中心对称.夯基自测D B 3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为f(x
5、+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.所以f(8)=f(0),又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(8)=f(0)=0.B4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x(0,+)时,f(x)=lg x,则满足f(x)0的x的取值范围是 . 解析:画草图,由f(x)为奇函数知f(x)0的x的取值范围为(-1,0)(1,+).答案: (-1,0)(1,+)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 函数奇偶性的判定 (3)易知函数的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称.当x0,故f(-x)=x2-x=f(x);当x0时,-x0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=
6、-f(x); 当xf(2a),则实数a的取值范围是 . 解析：当x0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,所以函数f(x)在0,+)上为增函数.又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在R上是增函数.由f(3-a2)f(2a)得3-a22a.解得-3a1.答案:(-3,1)反思归纳 函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.反思归纳 周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.考查角度3:函数的奇偶性与对称性相结合问题.【例6】 (2014高考新课标全
7、国卷)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= . 解析:因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(2+1)=f(2-1),即f(1)=f(3)=3,又函数y=f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=3.答案:3反思归纳 (1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b(ab)对称,则函数f(x)必为周期函数,2(a-b)是它的一个周期;(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)(ab)对称,则函数f(x)必为周期函数,2(a-b)是它的一个周期.考查角度4:函数的奇偶性、周期性、单调性相结合问题. 【例7】 已知定义在R上的奇函数f(
8、x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2 上是增函数,则( ) (A)f(-25)f(11)f(80) (B)f(80)f(11)f(-25) (C)f(11)f(80)f(-25) (D)f(-25)f(80)f(11) 解析:因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x), 所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0), f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)= -f(-1)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在R上是奇函数
9、, 所以f(x)在区间-2,2上是增函数, 所以f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11). 故选D.反思归纳 周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化所求区间为自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.备选例题 答案:x|x-2或0x2解析:对于,f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期 ,正确; 对于,由于函数f(x)是偶函数,且函数f(x)是以2为周期的函数,则f(2- x)=f(x-2)=f(x),即f(2-x)=f(x),故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故 正确; 对于,由于函数f(x)是偶函
10、数且在-1,0上是增函数,根据偶函数图象的 性质可知,函数f(x)在0,1上是减函数,故错误; 对于,由于函数f(x)是以2为周期的函数且在-1,0上为增函数,由周期 函数的性质知,函数f(x)在1,2上是增函数,故错误; 对于,由于函数f(x)是以2为周期的函数,所以f(2)=f(0),正确.综上所 述,正确结论的序号是.【例2】 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在-1,0上是增函数,给出下列关于f(x)的结论:f(x)是周期函数;f(x)的图象关于直线x=1对称;f(x)在0,1上是增函数;f(x)在1,2上是减函数;f(2)=f(0).其中正确结论的序号是 .
11、答案:经典考题研析 在经典中学习方法函数图象的对称性审题指导【典例】(2015高考新课标全国卷)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a等于( )(A)-1(B)1(C)2(D)4关键点所获信息图象关于直线y=-x对称轴对称f(-2)+f(-4)=1方程解题突破:由对称性求出函数y=f(x)的解析式,再由方程思想求出a的值解析:设(x,y)是函数y=f(x)图象上任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,可知(-y,-x)在y=2x+a的图象上,即-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2.故选C.命题意图:本题主要考查两个函数图象的对称性、函数解析式的求法等基础知识,考查考生的运算求解能力及转化与化归思想、方程思想.
