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1、1谈在数学课中进行研究性学习实 验 中 学 张 维 研究性学习（Inguiry Learning）是人们在总结发现式学习和有意义学习的经验的基础 上提出的一种以学生自主探究为主的学习方式.从狭义上理解,它是一种专题研究活动,是指学 生在教师指导下,从自然、社会和生活中选择并确定研究主题,以类似科学研究的方式主动地 获取知识、应用知识、解决问题的学习活动. 各种形式的研究性学习在发达国家已经成为学校学习的重要方式.教育部在 2000 年初颁 布的全日制普通高级中学课程计划（试验修订稿） 中增设“研究性学习课程”.目前，学 科课程也在努力探索研究性学习的开展.目的是为了改变学生以单纯地接受教师传授
2、知识为主 的学习方式，为学生构建一种开放的学习环境，提供多种渠道获取知识，并将学到的知识综 合应用于实践的机会，最终培养学生的创新精神和实践能力，发展学生的个性. 数学学科中的研究性学习多是在不破坏数学知识逻辑性和系统性的同时，在课堂教学中 适当穿插一些与数学有关的专题研究活动. 其研究性课题大体可分为两类，一是以探究为主 的研究型课题；二是以尝试为主的实践型课题.这些课题一部分是教材提供的参考课题，一部 分是教师将教材中的某些基本原理、概念和规律等知识设定为研究性课题，让学生进行再发 现、再创造；另一部分则是由学生在教师的指导下从自然、社会和生活中自行选定的课题。 由于研究性课题的确定直接影
3、响研究的成功与否，教师在指导学生选题时应以“一个课题必 须以学生能够了解而展开”为原则. 数学课中的研究性学习主要是围绕问题的提出，通过探究学习、合作学习、自主学习等 方式最终找到解决问题的方式和方法，进而形成正确的结论与概念展开的. 研究过程可分三 个阶段进行，即进入问题阶段、实践体验阶段和表达交流阶段.教师应结合课题目标、研究内 容、学生特点确定合理的教学模式。 通过分析近两年各地学校涌现的一些教学实例，初步归纳出数学研究性课题主要运用以 下三种模式进行教学. 模式一：模式一： 模式名称模式名称“实验探索”教学模式 模式特点模式特点利用数学实验手段，让学生从直观、想象到发现、猜想，获得感性
4、体验与 问题意识，然后通过探究给予验证及理论证明. 操作过程操作过程模式二模式二 模式名称模式名称“问题发展”教学模式 模式特点模式特点在问题解决的过程中引发深层次的数学思考，探索数学问题之间的内在联 系,发现一般规律，获得数学思想方法,形成数学观念，发展思维能力. 操作过程操作过程模式三模式三 模式名称模式名称“实践建模”模式 模式特点模式特点通过社会调查收集资料和数据，对数据进行分析、处理，建立数学模型， 进行问题解决. 操作过程操作过程实验发现 获得感知提出问题 得到猜想分组讨论 合作探究反思评价 拓展内化提出问题创 设情境 创设情境创 设情境合作讨论 解决问题推广发展 深入探究反思归纳
5、 内化创新调查实践 提出问题总结评估 研究拓展数据分析 数学建模收集资料 数据处理2从学科教学的角度看，以上提出的三种教学模式具有不同的目标和特点。 1 “实验实验探索探索”教学模式适用于以发现为目标的研究型课题教学模式适用于以发现为目标的研究型课题 在研究过程中， “数学实验”可以帮助学生通过观察、分析、猜想、归纳等活动完成对 数学定律、法则或理论的“再发现” ，也可帮助学生发现问题，或解决问题的途径。 例如在多面体欧拉定理的发现 （浙江省永康一中，李岩刚）课题研究中，教师组织 学生观察几何模型，归纳几何体的面数、顶点数、棱数，填写实验报告，依据具体数据引导 学生猜想几何体的面数、顶点数、棱
6、数之间的数量关系，并提出研究课题。 在等腰三角形 （天津市实验中学，张维）课题研究中，为了寻找“是否存在两个等 腰三角形，用它们能拼成一个新的等腰三角形？”的答案，教师组织学生分组拼图，通过动 手实验发现结论。 在抛物线焦点弦性质 （天津市实验中学，刘媛）课题研究中，教师组织学生利用几 何画板的移动、作图、度量功能动手实验，并在合作讨论的基础上对实验结果加以描述，提 出猜想。 2 “问题问题发展发展”教学模式适用于以发展为目标的研究型课题教学模式适用于以发展为目标的研究型课题 心理学家皮亚杰指出“学习从属于发展” 。在研究过程中，教师提出具有丰富内涵的问 题，引发学生类比联想，从已知猜想未知，
7、从旧问题探讨新问题，在探索问题的内在联系和 一般规律中发展思维。例如一道高考开放型问题的一般探求 （广州市第 86 中学，权宽一）课题研究中， 教师提出问题（1999 年上海高考数学试题第 12 题）若四面体各棱长是 1 或 2，且该四面体 不是正四面体，则其体积的值是 （只需写出一个可能的值） ，将题中注释删掉，加大了 问题的开放程度，使问题更具一般性和探究性。 在一道解析几何课本例题研究性学习的实践 （江苏省太仓高级中学，王佩其）课题 研究中，教师提出全日制普通高级中学教科书（试验本，必修） 第二册（上）第 143 页 例 3）斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线相交
8、于两点 A、B，问题 求出直线 AB 的方程； 求出交点 A、B 的坐标； 如何求线段 AB 的长？计算 AB 长是否一定要具体计算 A、B 的坐标？ 学生解决完问题后，教师将原问题加以改动，发展为下列问题： 问题问题 1 1：斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=2px (P0)的焦点，与抛物线相交于两点 A、B 两点，且线段 AB8，求 P 的值. 问题问题 2：抛物线 y2=2Px (P0)的焦点为 F，AB 为过 F 的弦，求证： PFBFA211学生联想例 3，发现问题 1 是例 3 的逆向问题，不难求解。对于问题 2，学生们意见不 一，教师组织学生展开讨论，并在此基础继续设问 问题问
9、题 3 3：“如果例 3 中直线的斜率情况未知，抛物线方程的参数 P 也未知，设 A、B 两点 坐标分别为（x1，y1） 、 （x2，y2） ，那么 y1y2的值与参数 P 有何关系？” 学生联想例 3 解法得出正确结论，即一条抛物线焦点弦性质：“如果过抛物线 y2=2px 的焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为 y1 和 y2 ，那么有 y1y2- p2.” 到此，对原问题的研究并没有结束，教师又请学生观察题图，并回答下列问题：3如何连结 FA1和 FB1，那么它们的位置关系如何？ 设弦 AB 的中点为 M，点 M 在准线上的射影为 M1，那么线段 AM1与 BM1的位置关系又如
10、何？ A、O、B1三点有何特殊的位置关系？A1、O、B 三点呢？ 随着教师的设问，学生对课本例题的数学认识逐渐深入，思维层次逐步提高 “实践实践建模建模”教学模式适用于以尝试为目标的实践型研究课题教学模式适用于以尝试为目标的实践型研究课题 在研究过程中，学生通过社会调查，收集资料和数据，分析、处理数据，建立数学模型， 解决实际问题. 例如上网方式与费用研究 （浙江奉化奉化中学，杨亢尔）课题研究中，学生通过访 问电信局，得出上网方式与价格如下表.那种上网方式最合算呢?为了方便研究，教师指导学 生将上网方式与价格表处理如下表形式：学生进行数据分析,得出上网时间与费用的函数关系: 163 普通:y=
11、2t(t0) 163A: 163H: 163D: y=200(t0) ADSL:y=70 (t0) ADSL:y=90 (t0) 在分期付款中的有关计算 （湖北省武昌实验中学，丁述舜）课题研究中，教师则是 先提供几种付款方式（如下表） ，学生对每期的付款额和付款总额进行研究.方案 类别付款 次数付款方式每期所 付款额付款 总额与一次性 付款差额13 次购买后 4 个月第 1 次付款, 再过 4 个月第 2 次付款, 再 过 4 个月第 3 次付款26 次购买后 2 个月第 1 次付款, 再过 2 个月第 2 次付款, 购买后 12 月第 6 次付款312 次购买后 1 个月第 1 次付款, 再
12、过 1 个月第 2 次付款, 购买后 12 月第 12 付款 注:规定月利率为 0.8%,每月利息按复利计算.1.163 普通: 2 元/小时; 2.163A:每月 50 元, 上网 50 小时,超出部分 2 元/小时 3.163H:每月 30 元,上网 30 小时, 超出部分 2 元/小时 4.163D:每月 200 元(含市话),时长不限; 5.ADSL:每月 70 元,时长不限; 6.ADSL:每月 90 元,时长不限. )50(25050 ty)50()500( tt )30(23030 ty)30()300( tt4学生结合具体数据，建立数列模型，可得出一般性结论： 购买一件售价为
13、a 元的商品，采用上述分期付款时，在 m 个月内将款全部付清，月利息 为 p，分 n（n 是 m 的约数）次付款，每次付款额分期付款这种运作方式在商业活动中应用日益广泛，哪些实际问题采用分期付款比较划 算？在分期付款的多种方案中，哪种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付 款到底有多大的距离？实际问题中的分期付款是否只有复利计算等？要求学生带着这些问题， 根据自己的兴趣和研究对象组成若干小组，走出课堂，进行社会调查.通过以上几个教学实例(参见中学数学教学建模第九章、第十章教学实例)的设计可 以看出，教师在进行研究性课题的教学中，应以课题目标为中心组织教学 从研究性学习的含义上看， “
14、实验探究” ， “问题发展” ， “实践建模”这三种数学研 究性课题教学模式又具有共同目标和特点都是在教学中以问题为载体，创设一种类似科学研 究的情境和途径，让学生通过亲身实践获得直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的 科学方法，提高综合运用知识解决问题的能力它们都具有问题性、探究性、自主性、过程性 和实践性 1问题性问题性 爱因斯坦曾精辟地论述道：“发现问题和系统阐述问题可能要比得到答案更为重要提 出新问题，新的可能性，从新的角度去考虑问题，则要求创造性的想象，而且标志着科学的 真正进步.”研究性课题的教学正是围绕着学生在学科学习中的问题和现实生活中的问题进行 组织的，学生的整个研究性
15、学习也是围绕着问题展开的.可见，问题性是研究性学生课题内容 在呈现方式上的重要特点.其中涉及的问题有的是学生通过实验发现的，有的是教师提出的， 一般具有很强的探究性，有的是教师指导学生从自然、社会或生活中选择的，一般具有实践 性 探究性探究性 研究性学习是以学生的探究性学习为基础的.“探究是一种有多侧面的活动，需要观察； 需要提出问题；需要查阅书刊及其他信息源，以便弄清楚什么情况已经是为人所知的东西； 需要设计调研方案；需要根据实验证据来检验已经为人所知的东西；需要运用各种手段来搜 集、分析和解读数据；需要提出答案、解释和预测；需要把研究结果告知于人.”3在三种 不同的数学研究性课题教学模式中，都是以探究作为学生学习活动的主线.这一点在三种模式 的操作过程中均有体现，大体可划分为以下几个环节 首先，教师为学生的发现、探究做好准备.如“实验探究”模式中设计数学实验；“问 题推广”模式中提出具有探究性的问题；“实践建模”模式中指导学生开展社会调查 其二，学生通过实验、观察、联想、分析、思考等学习活动，主动去概括原理、法则， 去寻求解决问题的方法、途径，这是探究学习过程中的主要环节，在三种教学模式中都是核 心部分. 其三，学生交流初次探究所得到的成果或结论，并对一些似是而非的问题或不甚理解的 问题展开深入的讨
