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1、习题精选精讲数列通项公式的求法数列通项公式的求法 几种常见的数列的通项公式的求法一一 观察法观察法例例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）K,17164,1093,542,211K,52,21,32, 1K,54,43,32,21解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：110 n na（2） （3） （4）.点评：关键是找出各项与项数 n 的关系。 ;122nnnan;12 nan1) 1(1 nnan n二、公式法二、公式法例例 2： 已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q
2、的(qR 且 q1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1)2，且 a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又 b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由 qR，且 q1，得 q=2，bn=bqn1=4(2)n12213)2( qq bb例例 1. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则
3、数列的通项公式是（ ） na432aaa432aaa(A) (B) (C) (D) 122 nan42 nan122 nan102 nan解析解析：设等差数列的公差位 d，由已知， 12348)()(3333 adaada解得，又是递减数列， ， ，故选(D)。 243 da na2d81a)2)(1(8nan102 n例例 2. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。 na11a10 q nb21nnnaab nb解析解析：由题意，又是等比数列，公比为321nnnaab naq，故数列是等比数列， qaaaabbnnnnnn21321 nb) 1(2 11321qqqa
4、qaaab) 1() 1(1qqqqqbnn n点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、 叠加法叠加法例例 3：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 , 121naann, 312aa, 523aa, 734aa, 121naann各式相加得) 12(7531naanL)(52Nnnan点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求)(1nfaann)()2() 1 (nfffL解。例例 4. 若在数列中，求通项。 na31anaann1na习题精选精讲解析解析：由得，所以，naann
5、1naann111naann221naann112 aa将以上各式相加得：，又所以 =1)2() 1(1 nnaan31ana32) 1(nn四、叠乘法四、叠乘法例例 4：在数列中，=1, (n+1)=n，求的表达式。na1a1nanana解：由(n+1)=n得，= 所以1nana11 nn aann1aan12 aa23 aa34 aa1nn aa nnn11 43 32 21Lnan1例 4. 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。 na311annSnannannS) 12(na解析：首先由易求的递推公式：nnannS) 12(1232,)32() 12(11nn aaanann
6、n nn将上面 n1 个等式相乘得：51 12521221 aa nn aannLLL.) 12( 12(1) 12)(12(3 57)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1nnannnnnnnn aann LL点评：一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。1nafna)()2() 1 (nfffL五、五、Sn法法利用 (2)1nnnSSan例例 5：已知下列两数列的前 n 项和 sn的公式，求的通项公式。 （1）。 （2）nana13nnSn12 nsn解： （1）=311111 Sana1nnSS1) 1() 1() 1(33nnnn232 nn
7、此时，。=3为所求数列的通项公式。112Sana232 nn（2），当时 011 sa2n12 1) 1() 1(22 1nnnssannn由于不适合于此等式 。 1a )2(12) 1(0 nnnan点评：要先分 n=1 和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。2n六、待定系数法：六、待定系数法：例例 6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式 cnnc解：设 1) 1(n nbqdnac132211121237242 n nncabdqbqdabqdabqdaba例 6. 已知数列中， ncbbc11bbcbcnn11
8、其中 b 是与 n 无关的常数，且。求出用 n 和 b 表示的 an的关系式。1b习题精选精讲解析：递推公式一定可表示为的形式。由待定系数法知： )(1nncbcbbb1)1(1,1, 12122bbcbbbcbbbnnQ故数列是首项为，公比为的等比数列，故 21bbcn 112221 bbbbcb11112121 1 222 bbbcbbbbb bbcnnn n n点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则na，（b、为常数） ，若数列为等比数列，则，。cbnancnbnsn2na1n nAqa) 1, 0(qAqAAqsn n七、
9、辅助数列法七、辅助数列法例例 7：已知数的递推关系为，且求通项。na121nnaa11ana解： 令则辅助数列是公比为 2 的等比数列121nnaa) 1(211nnaa1nnabnb即 1 1n nqbbnn nqaa2) 1(11 112 n na例例 5.在数列中，求。 na11a22annnaaa31 3212na解析解析：在两边减去，得nnnaaa31 32121na)(31112nnnnaaaa 是以为首项，以为公比的等比数列，由累加法得nnaa1112 aa311 1)31( n nnaa= = na112211)()()(aaaaaaannnn 2)31(n3)31(n11)
10、31(311) 31(11n1)31(1 431n1)31(4347n例例 8： 已知数列中且（），求数列的通项公式。na11a11 nn naaaNn解： ， 设，则11 nn naaa11111nnnnaaa annab111nnbb故是以为首项，1 为公差的等差数列 nb1111abnnbn) 1(1nbann11点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。利用递推关系求数列通项的九种类型及解法利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.1.形如形如型型)(1nfaann（1）若 f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.daann1nadna) 1(1习题精选精
11、讲（2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：)(1nfaann时，2n) 1(1nfaann，)2(21nfaannKK)2(23faa) 1 (12faa所以各式相加得 ) 1 ()2()2() 1(1ffnfnfaanL即：.111)(nknkfaa为了书写方便，也可用横式来写：时，Q2n) 1(1nfaann112211)()()(aaaaaaaannnnnL=.1) 1 ()2()2() 1(affnfnfL例 1. （2003 天津文） 已知数列an满足,)2(3, 111 1naaann n证明213 nna证明：由已知得：故,31 1 n nnaa1122
12、11)()()(aaaaaaaannnnnL= .213133321n nnL213 nna例 2.已知数列的首项为 1，且写出数列的通项公式. 答案： na* 12 ()nnaan nN na12 nn例 3.已知数列满足，求此数列的通项公式. na31a)2() 1(11nnnaann答案： nan12习题精选精讲评注：已知,，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.aa 1)(1nfaannna若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累
13、加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.na0na)(21nnnanaSna解:由已知得,)(21nnnanaS)(2111 nnnnnSSnSSS化简有,由类型(1)有,nSSnn2 12nSSnL322 12又得,所以,又,11aS 11a2) 1(2nnSn0na2) 1(2nnsn则2) 1(2) 1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解.2.2.形如形如型型)(1nfaann（1）当 f(n)为常数，即：（其中 q 是不为 0 的常数） ，此时数列为等比数列，=.qaann1 na1 1nqa（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.由得 时，)(1nfaann2n) 1(1nfaann=f(n)f(n-1). 1 12211aaa aa aaannnn nL1) 1 (afL例 1.设是首项为 1 的正项数列，且（=1，2， 3，） ，则它的通项公式是=
