欧拉—拉格朗日方程

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欧拉拉格朗日方程欧拉 - 拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 为变分法 中的一条重要方程。它提供了求泛函 的平稳值 的一个方法。第一方程设，以及在中连续，并设泛函。若使得泛函 J(y) 取得局部平稳值，则对于所有的，。推广到多维的情况，记，。若使得泛函取得局部平稳值，则在区间内对于所有的，皆有。第二方程设，及在中连续， 若使得泛函取得局部平稳值，则存在一常数 C ，使得。例子设及为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设，并且；这里，为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为。现设，取偏微分，则，fx = fy = 0 。若 y 使得 L(y) 取得局部平稳值，则 y 符合第一方程：，。因此，。随 t 积分，；这里，为常数。重新编排，。再积分，x(t) = rt + r ，y(t) = st + s 。代入初始条件，；即可解得，是连接两点的一条线段。另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得 L(y) 取得极小值， 所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。