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1、数学建模在实际中的应用水厂供水的优化问题学号 姓名 专业 选址是生活中经常遇到的问题，如向居民输送自来水等都是实际需要考虑的问题， 在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接 着将居民区简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。本模型正 是研究了一个向六个居民区输水的 A、B 水厂的选址问题，本模型把其定义为双选址问 题，首先对六个居民点，分成两个区域，然后分别求解。为了简单易求，也可以首先 选择重心法，对其求解，但通过对其结果的分析，发现重心法存在着缺点。所以采取 对模型进行重建的方法，列出了一个二元方程，然后对其最小值进行求解。一、问题描述（优
2、化选址问题）某城市拟建 A、B 两个水厂。水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为 30 万吨、40 万吨及 50 万吨，A、B 两个水厂日进水量总和不超过 80 万吨。A、B 两个水厂 共同担负供应六个居民区（由表一给出坐标）用水任务，每户日均用水量为 1.0 吨， 水厂供应居民点用水的成本为 1.05 元/吨公里。表表 1 1：各居民区的位置和拥有的家庭户数：各居民区的位置和拥有的家庭户数居民点123456iX012345 位置iY454412家庭户数（万户）1011815822表一问题：若 A、B 两个水厂的位置尚未确定，请确定它们的位置及供水方案使总成本 最低。二、模型假设1.假设水
3、厂与居民点的距离为直线距离，即忽略掉输水管道的路线问题。2.假设水厂与居民点之间的供水费用仅与供水长度有关，和输水量无关。3.假设水厂的建设资金是确定的，不会因规模的大小而改变。成本仅为供水成本。4.假设水厂和居民区都是理性化的质点。15.假设居民的用水量就为人均用水量乘上人口数。而且，长期不变。三、符号表示符号含义Z维护管道所花费的费用（，） （i=1，2，3，4，5，6）iXiY六个居民区的坐标（，） ijXijY654321j21i， 两个水厂向六个居民区的输水量（，） （，）AXBYAXBYA、B 水厂的坐标it各居民区所需的水量id各居民区距离水厂的位置四、问题分析通过简单的分析可以
4、的知，总的用水量为 74 吨，而 A、B 两厂的总进水量为 80 吨， 所以B 两厂的规模只能为（30，50） 、 （40，40） 、 （50，30）三种方式。对于问题一，是典型的线性最优化问题，我们分三种方式对其求解。而对于问题 二，我们则是采用将完全不同的模型：首先，利用聚类算法思想，把六个居民点化分 成为两个区域，然后利用重心选址法初步判断和偏微分法求解地方法，分别对 A、B 两 个水厂的位置进行确定。五、模型的建立与求解1、模型的建立（重心法）这是一个典型的选址问题，由于要选择两个水厂，根据聚类算法的思想，即同一 类对象的相似度较高，而不同类的对象相似度较小的原理，需要将需求点划分成两
5、个 区域。(1)划分区域首先，在坐标纸上描绘出说有的需求区（这里指居民区） ，并把所有需求区，用直 线连接起来，以距离为边做出一个完全图，如图所示：2图一表三然后，根据它们彼此的距离（如表三所示） ，先删除距离最大的边，然后再删除余 下边中距离最大的，依次进行下去，直到图被分为两个彼此分离的图像，如下图所示：图二居民区1 10 02 21.4141.4140 03 32 21.411.410 04 43 32.232.231 10 05 55 55 53.6053.6053.163.160 06 65.385.385 53.6053.6052.8282.8282.2362.2360 03分为两
6、个区域，根据用水量和供水量可知，A 厂与 B 厂的供水量只能为 50 万吨， 三十万吨。然后分别对 A、B 厂进行求解。(2)公式（重心法选址）的推导：假设有 n 个居民点，居民点的坐标为（，） ，水厂的位置为（,）,则供iXiY0X0Y水成本为：iniitdAZ 1其中，A 为单位距离的供水成本，为两点间的距离，为供水量。idit按重心法，将各居民区视为有重量的质点，为各质点的等效重量，重心是到各it质点距离最短距离的点，这样，寻求水厂的地址问题，就转化为求重心坐标的问题， 所以接下来就是解决求解重心的问题。假设各个质点的等效质量为 G，根据重心的特征，可知，等效重量在重心对远点的 力矩等于
7、各质点在面上的力矩之和，即：XOY niiiodtGd1由于 X 轴与 Y 轴互相垂直，为不相关变量，所以可以把力矩延着 X 轴、Y 轴分解， 即重心对 X 轴、Y 轴的力矩，等于各质点对 X 轴、Y 轴的力矩之和。那么可以得到： niiioxtGx 1 niiioytGy1又因为 G 为等效质量，所以。 niitG 1总上可得： niiiniitxtx110 niiiniityty110（1）（，）就为所要求解的重心，也就是水厂的最优位置。0X0Y2、模型的求解（Excle 表格）对比重心法，中心坐标的求解，比较简单，所以本论文选择 Excle 表格对其求解，4A、B 两厂的求解数据与过程分
8、别见表四和表五。对于第一块区域（数据如表四所示）居民区一居民区二居民区三居民区四（求和）x 坐标0123 y 坐标4544 分配量（质量）101181544 X*质量011164572 Y*质量40553260187 表四数据带入公式（1） ，可以求出=1.6363， =4.25 。0x0y对于第二个区域（数据如表五所示）：居民区五居民区六（求和） x 坐标45 y 坐标12 分配量（质量）82230 X*质量32110142 Y*质量84452数据带入公式（1） ，可以求出=4.73，=1.733 。0x0y3、模型的分析（结果比较）经过分析可以得知，虽然重心法处理问题，比较简单处理的数据比
9、较少，把二元 变量转化为易求的一元变量。但是，结果是否就是最优解呢 ？为了验证这一方法的可行性，我们新建了一个二元方程模型，并对它进行作图、 求解。我们依然根据聚类算法的思想，把区域化作两个区域（详细见上面重心法模型） ，然后，再分开进行求解，对于假设 A 水厂的坐标为（，） ，则对于 A 厂的成本为：AXAY)(Z40Ai iidt 22)()(iAiAiyyxxd同理，对于 B 厂成本为：)(Z21Bi iidt 22)()(iBiBiyyxxd5对于这两个二元函数，我们就是要求解其最小指。本论文，用 matlab 软件，做出了，的分别关于（，） ， （，）三维网状图，分别如图三、图四（见
10、AZBZAXAYBXBY附表）所示：图三图四通过，对图标的分析，本论文发现重心法的结果与实际结果有误差。所以，本论 文对重心法重新分析：在重心法中，使用了力矩的概念，在物理学中，力矩是一个矢量，所以，应用矢量方程表示重心和各质点的力矩关系，应该是一个矢 niiiodtGd1量表达式：6iniidtrr 00dG因为，Z 是费用，并非是一个向量表达式，所以：iniidtrr 00dGZ所以， “重心法”因为有矢量运算(不做详细说明)，并不是选址的最优选法。4、模型的重建（二元函数最小值）此设计模型，以最低费用为标准，建立一个关于坐标的二元函数：（2）)()( Z 2 02 0n0yyxxtii
11、ii即：当 Z 取到最小值时，谁对应的（X，Y）就是要选的水厂位置。所以，问题变成了 求解复杂二元函数的最值，以及所对应的（X，Y）求解。5、模型的二次求解（matlab 求解）此设计使用 matlab 对其求解。由于这是一个比较复杂的二元函数，直接求解要 求解 Z 的高次偏微分，而且使用 matlab 的“fmin 函数”求最值时，软件显示“无法 求解” 。所以，最后本论文采用“迭代法”进行求解，即遍举所有的（，） ，选出他xy 们求出的 Z 最小值，同时，输出他们所对应的（，） 。 （程序如附表二所示）xy程序输出的 z1 为第一个点的最小费用， （a1，b1）为 A 厂的坐标；z2 为第
12、二个 点的最小费用， （a2，b2）为 B 厂的坐标。6、结果分析通过，软件的求解我们得出的最后结果是 A 厂（2，4） ，B 厂（5，1） 。花费的费用 一共为 58.5561。7重心法首先要在坐标系中标出各个地点的位置，目的在于确定各点的相对距离。坐标系可以随便建 立。在国际选址中，经常采用经度和纬度建立坐标。然后，根据各点在坐标系中的横纵坐标值求出 成本运输最低的位置坐标 X 和 Y，重心法使用的公式是： 公式中 Cx- 重心的 x 坐标； Cy- 重心的 y 坐标； Dix-第 i 个地点的 x 坐标； Diy-第 i 个地点的 y 坐标； Vi-运到第 i 个地点或从第 i 个地点运出的货物量。 最后，选择求出的重心点坐标值对应的地点作为要布置设施的地点
