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1、数列求和及数列的综合应用数列求和及数列的综合应用一、选择题1数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，an13Sn(n1)，则 a6( )A344 B3441C44 D441【解析】 因为 an13Sn，所以 an3Sn1(n2)，两式相减得：an1an3an，即4(n2)，an1an所以数列 a2，a3，a4，构成以 a23S13a13 为首项，公比为 4 的等比数列，所以 a6a244344.【答案】 A2(2013昆明模拟)已知数列an满足 a11，an1Error!Error!则其前 6 项之和是( )A16 B20C33 D120【解析】 a22a12，a3a213，a42a36，
2、a5a417，a62a514，所以 S6123671433.【答案】 C3在数列an中，a12，an1anln，则 an( )(11n)A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n【解析】 由已知得an1anlnln(n1)ln n.n1n于是 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(ln 2ln 1)(ln 3ln 2)ln nln(n1)2ln n.【答案】 A4若数列an满足d(nN*，d 为常数)，则称数列an为“调1an11an和数列” 已知正项数列为“调和数列” ，且 b1b2b990，则 b4b61bn的最大值是( )A10 B100C200 D40
3、0【解析】 由已知得d，即 bn1bnd，11bn111bnbn为等差数列，由 b1b2b990，得 9b590，b510，b4b620，又 bn0，所以 b4b6()2100，当且仅当 b4b610 时，等号成立b4b62【答案】 B5(2013青岛模拟)已知函数 f(n)n2cos(n)，且 anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100( )A0 B100C100 D10 200【解析】 anf(n)f(n1)，a1a2a3a100f(1)f(2)f(100)f(2)f(101)又f(n)n2cos (n)，f(1)f(2)f(100)122232429921002(2212)(4232
4、)(1002992)371995 050，5031992f(2)f(101)22324299210021012(2232)(4252)(10021012)592015 150，5052012所以 a1a2a3a100f(1)f(2)f(100)f(2)f(101)5 1505 050100.【答案】 B二、填空题6(2013泉州模拟)数列an满足 a11，log2an1log2an1(nN*)，它的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn1 025 的最小 n 值为_【解析】 因为 a11，log2an1log2an1(nN*)，所以 an12an，an2n1，Sn2n1，则满足 Sn1 025 的
5、最小 n 值是 11.【答案】 117(2013吉林模拟)已知正项等比数列an中，a13，a3243，若数列bn满足 bnlog3an，则数列的前 n 项和 Sn_.1bnbn1【解析】 设数列an的公比为 q(q0)，因为 a3a1q2，解得 q9，所以 ana1qn139n132n1，所以 bnlog3anlog332n12n1，所以，所以数列的前 n 项和1bnbn112n12n112(12n112n1)Sn1b1b21bnbn112(1113131512n112n1)12(1112n1) .122n2n1n2n1【答案】 n2n18(2013课标全国卷)等差数列an的前 n 项和为 S
6、n，已知S100，S1525，则 nSn的最小值为_【解析】 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由等差数列前 n 项和可得Error!Error!解得Error!Error!nSnn2a1d3n2 (n3n2) n3，(nSn)n2，n2n12131310n2320n3令(nSn)0，解得 n0(舍去)或 n.203当 n时，nSn是单调递增的；当 0n时，nSn是单调递减的，故当203203n7 时，nSn取最小值，(nSn)min 7349.1310 723【答案】 49三、解答题9(2013江西高考)正项数列an的前 n 项和 Sn满足：S (n2n1)2 nSn(n2n)0.(
7、1)求数列an的通项公式 an；(2)令 bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的n1n22a2 nnN*，都有 Tn0，Snn2n.于是 a1S12，当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上可知，数列an的通项 an2n(nN*)(2)证明：由于 an2n，bn，n1n22a2 n则 bn.n14n2n221161n21n22Tn11161321221421321521n121n121n21n2211611221n121n22116(1122).56410(2013湛江模拟)设数列an满足：a15，an14an5(nN*)，(1)是否存在实数 t，使ant
8、是等比数列？(2)设数列 bn|an|，求bn的前 2 013 项和 S2 013.【解】 (1)由 an14an5 得 an14an5，令 an1t4(ant)，得 an14an5t，则5t5，t1，从而 an114(an1)又 a114，所以an1是首项为 4，公比为4 的等比数列，所以存在这样的实数 t1，使ant是等比数列(2)由(1)得 an14(4)n1，所以 an1(4)n.所以 bn|an|Error!Error!所以 S2 013b1b2b2 013(141)(421)(143)(441)(142 013)41424342 01311442 01414.42 0141311设
9、数列an的前 n 项和为 Sn，点(an，Sn)在直线 y x1 上32(1)求数列an的通项公式(2)在 an与 an1之间插入 n 个数，使这 n2 个数组成公差为 dn的等差数列，求数列的前 n 项和 Tn.1dn【解】 (1)由题设知，Sn an1 得 Sn1 an11(nN*，n2)，3232两式相减得：an (anan1)，32即 an3an1(nN*，n2)，又 S1 a11，得 a12，32所以数列an首项为 2，公比为 3 的等比数列，所以 an23n1(nN*)(2)由(1)知 an123n，an23n1，因为 an1an(n1)dn，所以 dn，所以.4 3n1n11dnn14 3n1Tn，1d11d21d31dn则 Tn，24 3034 3144 32n14 3n1Tn，1324 3134 32n4 3n1n14 3n得 Tn2324 3014 3114 3214 3n1n14 3n ，121413(113n1)113n14 3n582n58 3n所以 Tn(nN*)15162n516 3n1
