数值线性代数 北大版 答案全

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1、1数值线性代数习题解答数值线性代数习题解答 习题习题 1 求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 解解 设下三角矩阵 L 的逆矩阵为 T我们可以使用待定法，求出矩阵 T 的各列向量。为此我们将 T 按列 分块如下：注意到我们只需运用算法 111，逐一求解方程便可求得 注意注意 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵 T 的初始状态 为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法算法（求解下三角矩阵 L 的逆矩阵 T，前代法）设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该 方程组。解解 因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵 T 的逆矩阵，依照上题的思想我们很容

2、易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵 T 的逆矩阵，算法如下： 算法算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）2（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。算法总运算量大约为：证明：如果是一个 Gauss 变换，则也是一个 Gauss 变换。解解 按 Gauss 变换矩阵的定义，易知矩阵是 Gauss 变换。下面我们只需证明它是 Gauss 变换的逆矩阵。事实上注意到，则显然有从而有确定一个 Gauss 变换 L，使解解 比较比较向量和可以

3、发现 Gauss 变换 L 应具有功能：使向量的第二行加上第一行的 2 倍；使向量的第三 行加上第一行的 2 倍。于是 Gauss 变换如下证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理 112 中的 L 和 U 都是唯一的。3证明证明 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为 A 非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的 乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘 积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即， 从而即 A 的 LU 分解是唯一的。设的定义如下证明 A 有满足的三

4、角分解。证明证明 令 是单位下三角阵，是上三 角阵。定义如下容易验证：设 A 对称且，并假定经过一步 Gauss 消去之后，A 具有 如下形式证明仍是对称阵。 证明证明 根据 Gauss 变换的属性，显然做矩阵 A 的 LU 分解的第一步 中的 Gauss 变换为4其中，将 A 分块为那么即 由 A 的对称性，对称性则是显而易见的。设是严格对角占优阵，即 A 满足又设经过一步 Gauss 消去后，A 具有如下形式试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对 角占优矩阵来说，用 Gauss 消去法和列主元 Gauss 消去法可得得同样的结 果。 证明 依上题的分析过程易知，题中的于是

5、主对角线上的元素满足（1）非主对角线上的元素满足由于 A 是严格对角占优的，即故5从而（2） 综合（1）和（2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵。设有三角分解。指出当把 Gauss 消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储 L 而解出 Ax=b？需要多少次 乘法运算？ 解 用 Gauss 消去法作 A 的 LU 分解，实际上就是对系数矩阵 A 作 了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵 U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量 b 上，即有这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三 角形方程组，可运用本章算法 112 求解。这样我们就不必存储 L，通求解方程

6、组，来求解原方程组。算法如下：（1）用初等变换化；（2）利用回代法求解方程组。 该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10A 是正定阵，如果对 A 执行 Gauss 消去一步产生一个形式为6的矩阵，证明仍是正定阵。 证明证明 不妨设从而有由于非奇异，故对且，构造，及，则由 A 的正定性有由 x 的任意性知，正定。 11设并且是非奇异的。矩阵称为是在 A 中的 Schur 余阵。证明：如果有三角分解，那么经过步 Gauss 消去以后，S 正好等于（114）的矩阵证明 因为有三角分解，所以矩阵 A 可保证前步 Gauss 消去法 可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵使注意到7比较两式便知，故有12

7、证明：如果用全主元 Gauss 消去法得到 PAQ=LU，则对任意 有证明 略。 13利用列主元 Gauss 消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。 解解 设 A 是非奇异的，则应用列主元 Gauss 消去法可得到这里：P 是置换阵，L 是单位下三角阵，U 是上三角阵。于是，通过 求解下列 n 个方程组便可求得于是也就是说，求 A 的逆矩阵，可按下列方案进行： （1）用列主元 Gauss 消去法得到：；（2）经求解：得； （3）对 X 进行列置换得：。14假定已知的三角分解：A=LU。试设计一个算法来计算的（i，j）元素。 解解 求解方程组则 x 的第 i 个分量就是的（i,j）元素。15证明：如

8、果是严格对角占优阵（参见第 8 题），那么A 有三角分解 A=LU 并且证明 仿照第 8 题的证明，容易证明：对于是严格对角占 优阵，经过一步 Gauss 消去后，得到8其中仍是严格对角占优阵。A 的三角分解 A=LU 中这样，我们在对 A 进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为 每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。因此，16形如的矩阵称作 Gauss-Jordan 变换，其中.（1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。（2）向量满足何种条件才能保证存在使得?（3）给出一种利用 Gauss-Jordan 变换求的逆矩阵的算 法。并且说明 A 满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底

9、。 解 为解决本问题，我们引入 Gauss-Jordan 变换的两个性质：性质性质 1： . 事实上，事实上，性质性质 2：Gauss-Jordan 变换变换非奇异的充分必要条件是非奇异的充分必要条件是.（1）运用待定法，首先设的逆矩阵为，则有故应有（2）欲使，则应有即9因此，应满足，便可按上述方法得到使得。（3）设 A 的逆矩阵，则应有下面我们给出利用 Gauss-Jordan 变换求解方程组的计算方法。算法如下：假定 A 的各阶主子阵非零，记第 1 步：假若，令，构造，用左乘和，得到其中第 2 步：假定，令，构造，用左乘和，得到其中10照此下去，直到第 n 步：假定 ，构造，用左乘和，得到

10、经上述 n 步，我们得知：故从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：我们可以仿照定理 1.1.2 给出下列定理。定理：定理：的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵的各阶顺的各阶顺 序主子阵非奇异。序主子阵非奇异。证明证明 对于用归纳法。当时，定理显然成立。假定定理直到成立，下面只需证明：若非奇异，则非奇异的充要条件是即可。由归纳假定知因此，Gauss-Jordan 约化过程至少可以进行步，即可得到个 Gauss-Jordan 变换使（16-1）由此可知的阶顺序主子阵有如下形式若将的阶顺序主子阵分别记为，则 由（16-1）知11注意到 所以即非奇异的充要条件是 17证明定理 131

11、 中的下三角阵 L 是唯一的。 证明 因 A 是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此 A 非奇异。为证明 L 的唯一性，不妨设有和使那么注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，只能是对角阵， 即从而于是得知18证明：如果 A 是一个带宽为 2m+1 的对称正定带状矩阵，则其 Chelesky 因子 L 也是带状矩阵。L 的带宽为多少？ 证明 带宽为 2m+1 的矩阵的认识：当 m=1 时，2m+1=3，该带宽矩 阵形为：对 m 为任意一个合适的正整数来说，带宽为 2m+1 的矩阵元素有如 下特征：结合这一特征，对于带宽为 2m+1 的对称正定带状

12、矩阵 Ar 的 Colicky 分解算法，可改写成下列形式：12从算法不难看出：Colicky 因子 L 是下三角带状矩阵，L 的带宽为 m+1.19若是 A 的 Cholesky 分解，试证 L 的 i 阶顺序主子阵正好是 A 的 i 阶顺序主子阵的 Cholesky 因子。 证明 将 A 和 L 作如下分块其中：为矩阵 A 和 L 的 i 阶顺序主子阵。显 然故有。即是的 Colicky 分解。20证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非 奇异，则 A 有唯一的分解式其中 L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵。 证明 先证明存在性。根据定理 112 知，存在单位下三角阵 L 和上三角阵

13、U，使 A=LU，且 U 的主对角线上元素除外，其余都不为零。令，则有单位上三角阵使，即 有又因为，则从而根据 L 和的可逆性知：13该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。因此它们等于对角阵。 再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍 是单位下三角阵。因此两端都等于 D。于是从而有再证唯一性。令，故有。左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。又因，故。 21给出按行计算 Cholesky 因子 L 的详细算法。 解 略。 22利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。 解 算法可分为以下几个步骤： （1）首先利用算法 132 计算出正定矩阵的如下分

14、解其中，L 是单位下三角阵，D 是对角阵。 （2）求解矩阵方程其解矩阵. （3）求解矩阵方程其解矩阵 （4）求解矩阵方程其解矩阵 注意 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算 法实现起来很容易。 23设用平方根法证明 A 是正定的，并给出方程组的解。 解 由 Colicky 分解可得其中14显然，L 是非奇异矩阵。因此，对.于是所以是正定的。由方程组，解得，再由方程组，解得24设是一个正定 Hermite 矩阵，其中 证明：矩阵是正定对称的。 试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组解 既然是正定的，又对，有，且.且注意到显然 H 正等价于 A、B 正定。对，则有由前面的

15、讨论，知道若 H 是正定的，则 A 是正定的，故矩阵 C 是正 定的。 由于于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组其矩阵形式为：由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解。15习题习题 22.1 设设是是个正数。证明：由个正数。证明：由定义的函数定义的函数是一个范数。是一个范数。证明证明 只需验证满足定义 2.1.1 的三个条件。其中（1）和（2）， 即正定性和齐次性显然成立，下面给出（3）三角不等式的证明。像 2 范数 的证明一样，要证明三角不等式，需要用到 Cauchy-Schwartz 不等式欲证明这个不等式，只需证明：对任意的，有下列等式成 立用数学归纳法证明。当时，

16、等式显然成立。不妨归纳假设当 时，等式仍然成立，即有（E2.1） 现在来考虑时的情形，注意到16至此，我们便证明了前述等式。亦即证明了 Cauchy-Schwartz 不等式。又因为是个正数，因此有从而对，我们有2.2 证明：当且仅当证明：当且仅当和和线性相关且线性相关且时，才有时，才有.证明证明 因为对任意的17于是，当且仅当由等式（E2.1）可知，当且仅当，即，对任意的，此式成立不外乎二种情形：或；或；或.即和线性相关。2.3 证明：如果证明：如果是按列分块的，那么是按列分块的，那么证明证明 因为.2.4 证明：证明：证明证明 记，那么，根据第 3 题的结果我们有根据 Frobenius 范数定义易知，对. 于是2.5 设设是由是由定义的。证明定义的。证明是矩阵范数，并且举例说明是矩阵范数，并且举例说明不满足矩阵范数不满足矩阵范数 的相容性。的相容性。证明证明 （1）证明