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1、空间向量的夹角空间向量的夹角教学设计教学设计第二册（下） “空间向量的坐标运算”第三课时 蒋敏慧一、教材分析一、教材分析1、教材的地位与作用本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的，是空间向量的坐标运算的第 3 课时，是空间向量在立体几何中的简单应用。这节课的教学，为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基础。按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、演绎推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量法处理立体几何问题，把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算” ，有助于学生克服空间想象
2、力的障碍而顺利解题。2、教学重点难点重点：空间向量夹角公式及其坐标表示法；选择恰当的方法求两条异面直线的夹角。难点：两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别；恰当的构建空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标。 关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标，将几何问题转化为代数问 题。二、教学目标二、教学目标1、知识目标：使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；提高学生选择恰当的方法求两条异面直线夹角的技能；2、能力目标：在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力；通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系；通过空间向量的坐
3、标表示法的学习，使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力。3、情感目标：通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情。三、教学方法与手段三、教学方法与手段1、教学方法：采用启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学氛围。2、学习方法：自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。3、教学手段：借助多媒体计算机（几何画板、实物投影、幻灯片等）辅助教
4、学，增强课堂教学的生动性与直观性。四、教学程序四、教学程序教学程序教学内容设计说明1、创设情境复习引入情境：如图 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D中，求证与垂直。11141AAFDAE1DFuuu u rBEuuu r问题 1: 若将 E 点在 AA1，A1B1上移动，若移至A1B1的 E1处，如图 2，又如何确定与1DFuuu u r的夹角？1BEu u u u r图 1 图 2学生活学生活动动复复习习回回顾顾 1、学生回顾上节课学习的:两个非零向量1122212121 2()()0axybxyzaba bx xy yz zrrrrr r1，z ，2、由教师提出当点 E 在AA1、A
5、1B1上移动时，与还BEuuu r1DFuuu u r是否垂直?3、以将点 E 移至 E1处为例，我们又将如何确定与的夹1DFuuu u r1BEu u u u r角？从而很自然的引出本节课的课题，拉开了本节课教学的序幕。2、建构数学（学生归纳，教师总结）类比：对于平面内两个向量的夹角问题我们是如何求得的?问题 2：是否可以将平面内求得两个向量的夹角公式推广到空间?公式的形式有何变化？学生活学生活动动类类比推广比推广 通过与平面向量的夹角公式的类 比，让学生猜想空间两个非零向量 的夹角公式，然后推广到空间。 希望提高学生的类比转化能力。类比推广对于空间两个非零向量，其夹角为 ，仍有111222
6、(,),(,)ax y zbxyzrr，用坐标表示为 。a bCOS ab r r rr1 21 21 2 222222 111222x xy yz zCOS xyzxyz （将几何问题转化为代数问题，让学生体验将空间形式的研究，从“定性”推理到“定量” 计算的转化。提高学生的类比转化能力，让学生感受知识货的的过程）F1A1EDC1CB1D1BADC1CB1A1D1F1E1BAE教学程序教学内容设计说明练习求下列两个向量夹角的余弦值（1）， (2, 3, 3),(1,0,0)abrr（2）。( 1, 1,1),( 1,0,1)ab ru r学生活学生活动动及及时时巩固巩固为了及时巩固空间向量的
7、夹角公式，我设计了以下两道直接利用公式求空间向量夹角的练习题，以达到学以致用，熟能生巧的目的。3、知识运用（学生活动为主，教师活动为辅）例题例 1如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求 BE1与 DF1所成角的1111111 4B ED FAB余弦值。分析：学生活学生活动动 例例题讲题讲解（解（发散性思维）一方面解决课题引入中的问题，一方面体现空间向量的应用。学生可能想到的解法有：方法一：传统的几何法-平移法，即将两条异面直线平移直至构成一个三角形，利用余弦定理而求得；方法二：向量法由学生建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，从而求得对应向量的坐标，代入公式，由于学生所取向量的方向不
8、一样，求出1115COSDF BE17uuu r uuu u r，而有的学生求出的是1115COSFDBE17 uuu r uuu u r，突破难点学生提问：此题所求的是两条异面直线的夹角，而不是两个空间向量的夹角，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？由师生共同比较两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角的区别，以突破本节课的难点之一。小结评价问题 3：利用空间向量解决立体几何中求夹角问题的一般步骤是什么？(1) 当的构建空间直角坐标系，求得所对应点的坐标；(2)用坐标表示空间向量及其数量积；(3)代入空间向量夹角公式的坐标形式；(4)提炼共性，转化为几何结论。使学生养成对新的一种方法及
9、时总结的学习习惯，使得学生达到系统掌握的目的。同时将利用向量求两条异面直线的夹角的方法推广到一般。为学生解决异面直线夹角问题提供新视角。ABDC1CB1A1D1F1E1DAC1CBB1A1D1F1E1EFzyDC1CB1A1D1F1E1BA x教学程序教学内容设计说明题组练习一如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 是AB 的中点，求对角线 DB1与 CM 所成角的余弦值。学生活学生活动动掌握理解掌握理解 让学生分组讨论，寻求解决某个 问题的多种途径，再对各种途径进 行比较。 归纳学生的方法，大致可分为几 何法、向量法两类。通过本题，建议 学生在实际运用中，选择恰当的方 法，使得我们
10、解题过程变得更简单。 倡导一种自主探索、动手实践、合 作交流的学习数学的方式。例题例 2.沿着正方体 ABCD-A1B1C1D1相邻的三个面的对角线去截正方体，得到一个新的几何体 B1-A1BC1，已知 E、F 分别是 A1B 和 BC1的中点，求异面直线 B1E 与 A1F 的夹角。问题 4：如何正确放置几何体，可以构建恰当的空间直角坐标系？学生活学生活动动例例题讲题讲解解从我们较为熟悉的正方体中截出一个我们不熟悉的新的几何体，如何在一个新的几何体中研究两条异面直线所成的角?由于学生初次接触到这样一个几何体，学生开始时可能会感到有些茫然不知所措，所以教师将通过提出问题 4 将学生带入到一个建
11、系的过程中去，建系是本节课的一个难点，同时也是关键。DAC1CBB1A1D1FEC1BB1A1DAC1CBB1A1D1M教学程序教学内容设计说明优化方案法一: 法二：通过学生探究几何图形,并思考讨论,由学生的认知水平,学生可能给出以下两种方法：方法一：补形将问题转化为正方体中的两条异面直线的夹角问题。方法二：翻转将图形翻转，以B1为原点,建立空间直角坐标系。课后思考：是否有其它建系的方法。建系之后，将求空间内相关点的 坐标转化为求平面内点的坐标。再 求得对应向量的坐标，代入夹角公 式，求得或113 6COSB E A F uuu u r uuu u r，113 6COSEB A Fuuu u
12、r uuu u r，加强学生对两个空间向量的夹角与两条异面直线的夹角的概念的理解。突破了本节课的另一个难点，提高学生分析问题、解决问题的能力。DAC1CBB1A1D1FEzyxB1A1BC1FEzyxDAC1CBB1A1D1教学程序教学内容设计说明题组练习二必做题：1.设点 O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，1，1)，C(0，0，1)，异面直线 OA 与 BC 夹角为 ，则 的值为 （ ）A.60 B. 120 C. -60 D. 2402.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，请用不同的方法求异面直线 AC 与 BD1所成的角。选做题：沿着正方体 ABCD-A1B1C1D1对角面
13、A1BCD1去截正方体，得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，E、F 分别是 A1D1，D1C1的中点，求异面直线 BE 与 A1F 所成的角。学生活学生活动动巩固提高巩固提高 我设计了两组不同层次的练习题： 必做题和选做题，让学生自主选择， 然后由学生利用实物投影展示自己 的解答，并分析解题思路。 设计意图： 1、鼓励学生选择不同的解题 方法，提倡创新思维； 2、通过学生对题目和方法的 自主选择，为不学生习能力的学生 提供广阔的空间； 3、充分体现学生的主体地位， 发展学生的个性；4、培养学生善于分析、乐于探索的钻研精神。反馈评价： 对学生在动手实践过程中勇于 思考、积极探索的学习态度给
14、予充 分的肯定； 同时指出学生在练习中值得注 意的以下几个问题： 1、将求空间点的坐标正确转 化为平面内点的坐标； 2、理解两个空间向量的夹角 与两条异面直线夹角的区别；3、选择恰当的方法求夹角，理解向量法不是求夹角的唯一方法，也不一定是最佳途径。4、归纳总结（师生共同归纳）总结（1）空间向量的夹角公式及其坐标表示；（2）构建恰当的空间直角坐标系，正确写出点的坐标及向量的坐标；（3）两条异面直线的夹角与两个向量的夹角之间的区别；（4）掌握类比猜想的方法，将平面问题向空间问题推广，将几何问题向代数问题转化，提高类比转化的能力。学生活学生活动动归纳总结归纳总结通过对本节课的知识和方法的回顾，让学生
15、自己归纳小结本节课的内容，培养学生归纳总结的能力。C1CBB1A1D1F EDAC1CBB1A1D1教学程序教学内容设计说明5巩固作业巩固作业感受理解：1.如图，在正方 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分 别是 AA1、BB1的中点，求直线 CM 与 D1N 所 成角的正弦值。思考运用： 2.已知正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面 垂直）ABC-A1B1C1中，底面边长 AB=2，求异 面直线 AB1与 BC 所成的角。题 1 图 题 2 图探究拓展： 3. 利用空间向量是否可以求直线与 平面所成的角，二面角，点到平面的距离， 两异面直线之间的距离等其 它空间夹角与距离问题？学生活学生
16、活动动理解掌握理解掌握从三个不同的层次布置巩固作业，通过自主解决作业中的问题，既让学生体会到收获成功的喜悦，又能在层层提高的作业中让学生检查自己对知识和方法的掌握程度，并且培养学生课后复习，课前预习的良好学习习惯。五、教学评价五、教学评价1、教学过程中以问题为载体，学生活动为主线，重视为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间；空间向量是教材新增加的内容，它将复杂的几何问题转化为代数问题，具有相对的优越性，但不是绝对的，实际应用时要恰当选择，合理运用。2、注意观察学生在教学各环节中的表现，看其是否能做到积极的探究和主动地与他人合作交流。对学生在学习过程的良好表现及时鼓励；通过对学生解题方法的收集与评价，及时肯定学生表现出的创新能力和解决
