漫话折纸几何学

《漫话折纸几何学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《漫话折纸几何学（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 前几天，一篇叫做 用正方形纸片折出等边三角形 的日志引起大家的讨论， 折出正七边形和折出角三等分线的方案更是让大家争论不休。提得最多的问题 就是，折纸为什么要比尺规作图更强？这是一个好问题。我查 了不少资料，了 解到不少折纸几何的历史，收获颇大，不赶紧记下来就亏大了。于是有了这篇 文章。要解答为何折纸如此强大，首先我们得解决一个问题：什么叫折纸。折纸 的游戏规则是什么？换句话说，折纸允许哪些基本的操作？大家或许会想到 一 些折纸几何必须遵守的规则：所有直线都由折痕或者纸张边缘确定，所有点都 由直线的交点确定，折痕一律是将纸张折叠压平再展开后得到的，每次折叠都 要求对 齐某些已有几何元素（不能

2、凭感觉乱折），等等。不过，这些定义都太 “空”了，我们需要更加形式化的折纸规则。 1991 年， Humiaki Huzita 指 出了折纸过程中的 6 种基本操作（也可以叫做折纸几何的公理）：1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去（想象这张纸是透明的， 所有几何对象正反两面都能看见，下同）3. 已知 a 、 b 两条直线，可以把直线 a 折到直线 b 上去4. 已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的折痕，

3、把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作 1 实际上 相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线， 操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作 4 则相当于过已知点 作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足 一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作 不出来的） 。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变 得有趣起来。更有趣的是，操作 5 的解很可能不止

4、一个。在大多数情况下，过一个点有 两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。操作 6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个 解！一组限定条件能同时产生三个解，这让操作 6 变得无比灵活，无比强大。 利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作 6 有三种解的根本原因： 满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应 的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三 次方程！让我们来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：1. 过已知两点作直线2. 给定圆心和圆周上一点作圆3. 寻找直线与直线的交点4. 寻找圆与直线的交点5. 寻找圆与圆的交点这五

5、项操作看上去变化多端，但前三项操作都是唯一解，后两项操作最多 也只能产生两个解。从这个角度来看，尺规作图最多只能解决二次问题，加减 乘除和不断开方就已经是尺规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则，势 必比尺规作图更加强大。正因为如此，一些尺规作图无法完成的任务，在折纸几何中却能办到。这 就回到了文章开头提到的问题：用折纸法可以实现作正七边形，而这是无法用 尺规作图办到的。我们有更简单的例子来说明，用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。 “倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一，它要求把立方体的体积扩 大到原来的两倍，本质上是求作 2 的立方根。由于尺规作图最多只能开平方， 因而它无法完成“

6、倍立方体”的任务。但是，折纸公理 6 相当于解三次方程， 解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。有意思的是，用纸片折出 2 的立方根比想象中的更加简单。取一张正方形 纸片，将它横着划分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。然后，将 右边界中下面那个三等分点折到正方形内 上面那条三等分线上，同时将纸片的 右下角顶点折到正方形的左边界。那么，纸片的左边界就被分成了 32 : 1 两段。利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系，我们不难证明它的正 确性。强烈建议大家自己动笔算一算，来看看三次方程是如何产生的。本文写到这里，大家或许以为故事就结束了吧。 10 年以后（也就是 2001 年），事情

7、又有了转折： Koshiro Hatori 发现， Humiaki Huzita 的 6 个折 纸公理并不是完整的。 Koshiro Hatori 给出了折纸的第 7 种操作。从形式上 看，第 7 公理与已有的公理如出一辙，并不出人意料，很难想象这个公理整整 十年里一直没被发现。继续阅读之前，大家不妨先自己想想，这个缺失的操作 是什么。这段历史 背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。Koshiro Hatori 补充的公理是：7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线，可以沿着一条垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上。后来，这 7 条公理就合称为了 HuzitaHatori 公理，你可以在

8、 Wikipedia 上读到这个条目。在 2003 年的一篇文章中， Robert J. Lang 对 这些公理进行了一番整理和分析，证明了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全 部操作了。Robert J. Lang 注意到了，上述 7 项基本操作其实是由一些更基本的操 作要素组合而成的，例如“把已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等 等。说得更贴切一些，这些更加基本的操作要素其 实是对折痕的“限制条件”。 在平面直角坐标系中，折痕完全由斜率和截距确定，它等价于一个包含两个变 量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的，例 如“把已知点折到已 知线上”就同时要求 x1 = x2 并且

9、y1 = y2 ，可以建立出两个等量关系，一 下子就把折痕的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只能列出一个 方程，只能确定一个变量（形式上通常表示为与另一个变量的关系），把折痕 的活动范围限制在一个维度里。不难总结出，基本的折叠限制要素共有 5 个：(1) 把已知点折到已知点上，确定 2 个变量(2) 把已知点折到已知线上，确定 1 个变量(3) 把已知线折到已知线上，确定 2 个变量(4) 把已知线折到自身上，确定 1 个变量(5) 折痕经过已知点，确定 1 个变量而折痕本身有 2 个待确定的变量，因此符合要求的折纸操作只有这么几种：(1) ， (2)+(2) ， (3) ， (4)+(4) ， (5)+(5) ， (2)+(4) ， (2)+(5) ， (4)+(5) 。但是，这里面有一种组合需要排除掉： (4)+(4) 。在绝大多数情况 下， (4)+(4) 实际上都是不可能实现的。如果给出的两条直线不平行，我们无 法折叠纸张使得它们都与自身重合，因为没有同时垂直于它们的直线。另外 7 种则正好对应了前面 7 个公理，既无重合，又无遗漏。折纸几何 至此便有了一套完整的公理。不过，折纸的学问远远没有到此结束。如果允许单次操作同时包含多处折 叠，折纸公理将会更复杂，更强大。折纸的极限究竟在哪里，这无疑是一个非 常激动人心的话题。